【数学】2020届一轮复习人教A版第53课平面向量的有关概念及其线性运算作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(53)‎ ‎ 1. 若＝，则＋＝ 　0　. ‎ 解析：因为＝，所以＝－，所以＋＝－＝0.‎ ‎ 2. 如图，小正方形的边长为1，则||＝　3　；||＝　　；||＝　2　. ‎ 解析：||＝＝3；||＝＝；||＝＝2.‎ ‎ 3. 给出下列命题：‎ ‎①的长度与的长度相等；‎ ‎②若a与b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；‎ ‎④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎⑤若与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上.‎ 其中，正确的命题是　①③　.(填序号) ‎ 解析：①因为的长度是线段AB的长度，的长度是线段BA的长度，所以①正确；②若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，所以②错误；③由相等向量的定义知③正确；④由共线向量知④错误；⑤若与是共线向量，则AB∥CD，或A、B、C、D在同一条直线上，所以⑤错误. ‎ ‎ 4. 已知在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则|－－|＝　1　.‎ 解析：由题意得|－－|＝|－|＝||.因为四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，所以BD＝AB＝1，即|－－|＝1.‎ ‎ 5. 若点P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝　120°　. ‎ 解析：因为点P为△ABC的外心，所以||＝||＝||.由＋＝及向量加法的平行四边形法则知，四边形PACB为菱形，且△PAC，△PCB均为正三角形，∠PCA＝∠PCB＝60°，故∠ACB＝120°. ‎ ‎ 6. 已知平面上四个点A，B，C，D满足：(－)·(2－－)＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形 .‎ 解析：2－－＝＋＋(＋)＝＋，－＝.由(－)·(2－－)＝0，得⊥(＋)，则△ABC为等腰三角形.‎ ‎ 7. 已知在△OBC中，＝(x＋1)＋(x－2)，且A、B、C三点共线，则x＝　1　.‎ 解析：因为A，B，C三点共线，所以(x＋1)＋(x－2)＝1，解得x＝1.‎ ‎ 8. 设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为　1∶2　.‎ 解析：设AC的中点为D，所以＋＝－2＝2，所以O为中线BD的中点，所以△AOB，△AOD，△COD的面积相等，所以△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.‎ ‎ 9. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，＝3，＝＋λ，则λ＝　　.‎ 解析：因为＝3，所以＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋.又因为＝＋λ，所以λ＝.‎ ‎10. 一直线过△ABC的重心G，与边AB，AC分别交于点P，Q，且＝m，＝n，则＋＝　3　.‎ 解析：因为G是△ABC的重心，所以＝×(＋)＝＋.又因为＝m，＝n，所以＝＋＝·＋.又因为P，Q，G三点共线，所以＋＝1，解得＋＝3.‎ ‎11. 设两个非零向量e1与e2不共线，且＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2).‎ ‎(1) 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2) 确定实数k的值，使得ke1＋e2和e1＋ke2共线.‎ 解析：(1) 因为＝＋＝2e1＋8e2＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)＝5，‎ 所以A，B，D三点共线.‎ ‎(2) 若ke1＋e2和e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，‎ 所以解得k＝±1.‎ ‎12. 在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若＝x＋(1－x)，求x的取值范围.‎ 解析：‎ 如图所示，因为BC＝CD，点O在线段CD上，所以存在实数λ∈(0，1)，使得＝λ，‎ 所以＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋λ(－)＝－λ＋(1＋λ).‎ 因为＝x＋(1－x)，所以x＝－λ.因为0<λ<1，所以－1