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- 2021-06-30 发布
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概率与统计
1.在新一轮的素质教育要求下,各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动,已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择,现有5名同学参加该校选课走班的活动,要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选,则这5名同学选课的种数为( )
A.120 B.150
C.240 D.540
答案 B
解析 因为将5个人分成3组有两种情形,
5=3+1+1,5=2+2+1,
所以这5名同学选课的种数为·A=150,故选B.
2.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化,共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星,现将他们的照片展示在宣传栏中,要求同性别的同学不能相邻,不同的排法种数为( )
A.4 B.8 C.12 D.24
3.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
A.18种 B.20种
C.21种 D.22种
答案 B
解析 当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A·A=12(种),当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有C·A·A=8(种),所以共有20种不同的排法.
4. 3的展开式中的常数项为( )
A.-6 B.6 C.12 D.18
答案 D
解析 由二项式3的通项公式为Tk+1=C3k·x3-2k,
当3-2k=1时,解得k=1,当3-2k=-1时,解得k=2,
所以展开式中的常数项为-C·31+C·32=-9+27=18.
5.若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是( )
A.-462 B.462
C.792 D.-792
6.二项式40的展开式中,其中是有理项的共有( )
A.4项 B.7项
C.5项 D.6项
答案 B
解析 二项式40的展开式中,
通项公式为Tk+1=C·40-k·k
=C·,
0≤k≤40,
∴当k=0,6,12,18,24,30,36 时满足题意,共7个.
7.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A.144种 B.288种
C.360种 D.720种
答案 A
解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A种排法,满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排),有A种排法.《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有×A=144(种).
8.已知m=ʃ3cosdx,则(x-2y+3z)m的展开式中含xm-2yz项的系数等于( )
A.180 B.-180 C.-90 D.15
答案 B
解析 由于m=ʃ3cosdx=ʃ3sin xdx
=(-3cos x)|=6,
所以(x-2y+3z)m=(x-2y+3z)6=[(x-2y)+3z]6,
其展开式的通项为C(x-2y)6-k(3z)k,
当k=1时,展开式中才能含有x4yz项,这时(x-2y)5的展开式的通项为C·x5-S(-2y)S,
当s=1时,含有x4y项,系数为-10,
故(x-2y+3z)6的展开式中含x4yz项的系数为
C·(-10)×3=-180.
9.为迎接中国共产党十九大的到来,某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( )
A.720 B.768
C.810 D.816
答案 B
解析 由题意知结果有三种情况.(1)甲、乙、丙三名同学全参加,有CA=96(种)情况,其中甲、乙相邻的有CAA=48(种)情况,所以当甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96-48=48(种)情况;(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同的朗诵顺序有CCA=288(种)情况;(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同的朗诵顺序有CCA=432(种)情况.则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768(种)情况,故选B.
10.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设“第一次摸出新球”为事件A,“第二次摸出新球”为事件B,则P(A)==,P(AB)==,
P(B|A)==.
11.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下,从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从3号出口出来,那么你取胜的概率为( )
A. B.
C. D.以上都不对
答案 A
解析 我们把从A到3的路线图(图略)单独画出来:分析可得,
从A到3共有C=10(种)走法,每一种走法的概率都是5,所以珠子从出口3出来的概率是C5=.
12
.我校高三8个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的平均数和方差分别是( )
A.91,9.5 B.91,9 C.92,8.5 D.92,8
答案 A
解析 由题意,根据茎叶图,可得平均数=(2×80+6×90+8+5+1+5+4+2+0+3)=91,
方差s2=[(88-91)2+(85-91)2+…+(93-91)2]=×76=9.5.
13.A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为30%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率:先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由随机数表可知,满足题意的数据为978,479,588,779,据此可知,这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为P==.
14.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是( )
A.若K2的观测值k=6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌
B.由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺癌
C.若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有1%的可能性使得判断出现错误
D.以上三种说法都不正确
15. “搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图,下列结论正确的是( )
A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
答案 D
解析 根据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A错;这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性,所以去年10月份的方差大于11 月份的方差,C错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值,D正确.
16.下列说法中正确的是( )
①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,|r|越接近于1,相关性越弱;
②回归直线=x+一定经过样本点的中心(,);
③随机误差e满足E(e)=0,其方差D (e)的大小用来衡量预报的精度;
④相关指数R2用来刻画回归的效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好.
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
答案 D
解析 ①线性相关系数r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量,|r|越接近于1,这两个变量线性相关关系越强,|r|越接近于0,线性相关关系越弱,①错误;②回归直线=x+一定通过样本点的中心,②正确;③随机误差e是衡量预报精确度的一个量,它满足E(e)=0,③正确;④相关指数R2用来刻画回归的效果,R2越大,说明模型的拟合效果越好,④不正确,故选D.
X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
所以E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.
(2)由已知可得,2×2列联表为
A机器生产的产品
B机器生产的产品
总计
良好以上(含良好)
6
12
18
合格
14
8
22
总计
20
20
40
K2=
==≈3.636<3.841,
所以不能在误差不超过0.05的情况下,认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好.
(3)A机器每生产10万件的利润为10×(12×0.1+10×0.2+5×0.7)-20=47(万元),
B机器每生产10万件的利润为10×(12×0.15+10×0.45+5×0.4)-30=53(万元),
所以53-47=6>5,
所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器,应该会卖掉A机器,同时购买一台B机器.