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- 2021-06-30 发布
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第19讲 导数及其应用
专 题 探 究 【p72】
【命题趋势】
2019高考对本节内容的考查仍将突出导数的工具性,主要涉及导数及其运算,灵活运用导数公式及运算法则进行求导,理解导数的几何意义,会求切线方程.题型选择、填空、解答均可出现,一般属于中档题目.重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性问题和生活中的优化问题,这也是高考的必考点,其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查,综合性强,有一定难度,一般以大题的形式出现.
【备考建议】
新课标命题的高考中,导数属于高考重点考查的内容,在复习中应对这些问题予以关注:
(1)定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积,确定或应用过某点的切线的斜率(方程);
(2)利用函数的单调性与导数的关系,讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间),根据函数的单调性,利用导数求某些参数的取值范围;
(3)利用函数的极值与导数的关系,求某些含有参数的较复杂基本函数的极值大小、个数或最值,根据函数极值的存在情况,利用导数求某些参数的取值范围.要掌握解决这些问题的基本数学方法与数学思想,不断培养提高数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程的数学思想.
典 例 剖 析 【p72】
探究一 定积分及其几何意义
例1(1)曲线f(x)=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是2ln,则实数a的值为( )
A.-2 B.2
C.1 D.-1
【解析】选B.
因f(x)=a,故f(x)dx=dx=a[ln(x-1)-ln(x+1)]|=aln |=a=aln,则由aln=2ln,解得a=2,故选B.
(2)已知函数f(x)=ln x+x2+x在x=1处的切线斜率为t,g(x)=
则g(x)dx=________.
【解析】6+
由f′(x)=+x+1,得t=3,
所以g(x)=
所以g(x)dx=dx+
dx,
其中dx=|=6,
dx由定积分的几何意义可知,其表示半径为3的圆的面积的,即,故g(x)dx=6+.
【点评】定积分与微积分基本定理的常见题型有两类:一类是定积分的计算,关键是利用导数通过逆向思维找原函数;另一类是曲边多边形面积的计算,关健是通过数形结合确定被积函数.
探究二 导数的几何意义及应用
例2(1)已知曲线C1:f(x)=+x,曲线C2:g(x)=ax-cos x.若对于曲线C1上任意一点的切线l1,在曲线C2上总存在与l1垂直的切线l2,则实数a的取值范围是________.
【解析】-≤a≤-1
直线l1在任意P点的切线斜率k=f′(x0)=+1=-++1,令t=,则00)与g(x)=a2ln x+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为( )
A. B.e2 C. D.-
【解析】选A.
设公共点坐标为(x0,y0),则f′(x)=3x-2a,g′(x)=,所以有f′(x0)=g′(x0),即3x0-2a=,解出x0=a,又y0=f(x0)=g(x0),所以有x-2ax0=a2ln x0+b,故b=x-2ax0-a2ln x
0,对b求导有b′=-2a(1+ln a),故b关于a的函数在为增函数,在为减函数,所以当a=时b有最大值,选A.
【点评】导数的几何意义是高考考查的热点.在三类题型中均有可能考查,同时在解答题中进行考查时,综合性较强,往往综合考查方程与不等式知识,考查函数方程思想、数形结合思想、推理论证能力.
探究三 利用导数研究函数的单调性
例3已知函数f(x)=aln x(a∈R).
(1)设h(x)=f(x)+ax2+(a2+2)x,求函数h(x)的单调区间;
(2)设函数y=f(x)与函数u(x)=的图象的一个公共点为P,若过点P有且仅有一条公切线,求点P的坐标及实数a的值.
【解析】(1)因h(x)=aln x+ax2+(a2+2)x(x>0),
故h′(x)=+2ax+(a2+2)==.
①若a≥0,则h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增;
②若a<0,则当->-,即a2>2,也即a<-时,在x∈时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;在x∈时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;在x∈时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
当-<-,即a2<2,也即-0,函数h(x)单调递增;在x∈时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.
当a=-时,h′(x)≤0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
综上:当a≥0,函数h(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当-0),显然函数m(t)=ln t+1-t(t>0)只有一个零点1.
下证当01时,函数m(t)=ln t+1-t(t>0)都是单调函数,且都没有零点.
因m′(t)=-1=,故当00,函数单调递增;且m(t)1时,m′(t)<0,函数单调递减;且m(t)0,
故f(x)min=f(1)=1-;
当x=2时,g(x)取得最小值为g(2)=a-9,所以1-≤a-9,即实数a的取值范围是a≥10-.
(2)已知函数f(x)=e2x,g(x)=ln x+,∀a∈R,∃b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),则b-a的最小值为( )
A.1+ B.1-
C.2-1 D.-1
【解析】选A.
令e2x=ln x+=t,则a=,b=et-,b-a=et--,令h(t)=et--,则h′(t)=
et--,导函数为增函数,且h′=0,所以函数h(t)在上递减,在上递增,最小值为h=1+.
例5已知函数f(x)=xln x-x2(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若g(x)=f(x)+(a-1)x在x=1处取得极小值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=xln x-x2,f′(x)=ln x+1-2x,f(1)=-1,f′(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x.
(2)由已知得g(x)=xln x-x2+(a-1)x,则g′(x)=ln x-ax+a,记h(x)=g′(x)=ln x-ax+a,则h(1)=0,h′(x)=-a=.
①当a≤0,x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,函数g′(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在x=1处取得极小值,满足题意.
②当01,当x∈时,h′(x)>0,故函数g′(x)单调递增,
可得当x∈(0,1)时,g′(x)<0,x∈时,g′(x)>0,所以g(x)在x=1处取得极小值,满足题意.
③当a=1时,当x∈(0,1)时,h′(x)>0,g′(x)在(0,1)内单调递增;x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,g′(x)在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,g′(x)≤0,g(x)单调递减,不合题意.
④当a>1时,即0<<1,当x∈时,h′(x)<0,g′(x)单调递减,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,g′(x)单调递减,g′(x)<0,所以g(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
综上可知,实数a的取值范围为a<1.
【点评】1.函数极值与最值为两个不同概念.一般地,其研究思想是利用函数单调性.
2.求函数极值、最值的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;
(4)由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况;
(5)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
探究五 导数的综合应用
例6已知函数f(x)=ae2x-aex-xex(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.
(1)求实数a的值;
(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且+≤f(x0)<.
【解析】(1)由f(x)=ex(aex-a-x)≥0,可得g(x)=aex-a-x≥0,因为g(0)=0,所以g(x)≥g(0),
从而x=0是g(x)的一个极小值点,由于g′(x)=aex-1,所以g′(0)=a-1=0,即a=1.
当a=1时,g(x)=ex-1-x,g′(x)=ex-1,
∵x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,0)上单调递减,
x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增;
∴g(x)≥g(0)=0,故a=1.
(2)当a=1时,f(x)=e2x-ex-xex,
f′(x)=ex(2ex-x-2).
令h(x)=2ex-x-2,则h′(x)=2ex-1,
∵x∈(-∞,-ln 2)时,h′(x)<0,h(x)在(-∞,-ln 2)上为减函数;
x∈(-ln 2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(-ln 2,+∞)上为增函数,
由于h(-1)<0,h(-2)>0,所以在(-2,-1)上存在x=x0满足h(x0)=0,
∵h(x)在(-∞,-ln 2)上为减函数,∴x∈(-∞,x0)时,h(x)>0,即f′(x)>0,f(x)在(-∞,x0)上为增函数,x∈(x0,-ln 2)时,h(x)<0,即f′(x)<0,f(x)在(x0,-ln 2)上为减函数,
x∈(-ln 2,0)时,h(x)<0,即f′(x)<0,f(x)在(-ln 2,0)上为减函数,
x∈(0,+∞)时,h(x)>0,即f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,
因此f(x)在(-ln 2,+∞)上只有一个极小值点0,
综上可知,f(x)存在唯一的极大值点x0,且x0∈(-2,-1).∵h(x0)=0,∴2ex0-x0-2=0,
所以f(x0)=e2x0-ex0-x0ex0=-(x0+1)=-,x0∈(-2,-1),
∵x∈(-2,-1)时,-<,∴f(x0)<;
∵ln∈(-2,-1),∴f(x0)≥f=+;
综上知:+≤f(x0)<.
【点评】不等式恒成立问题一般转化为函数最值问题,利用导数求函数在闭区间上的最值问题,先对函数求导,再求导函数的零点,一般先看能不能因式分解,如果不能就要分三个方面考虑,一是导函数恒正或恒负,二是可观察出函数的零点,再通过二阶导数证明导函数单调,导函数只有唯一零点,三是导函数的零点不可求,我们一般称为隐零点,通过图象和根的存在性定理,先判定和设零点,后面一般需要回代消去隐零点或参数.
(备选题)例7已知函数f(x)=aln x-ex.
(1)讨论f(x)的极值点的个数;
(2)若a∈N*,且f(x)<0恒成立,求a的最大值.
参考数据:
x
1.6
1.7
1.8
ex
4.953
5.474
6.050
ln x
0.470
0.531
0.588
【解析】(1)根据题意可得f′(x)=-ex=(x>0),
当a≤0时,f′(x)<0,函数是减函数,无极值点;
当a>0时,令f′(x)=0得a-xex=0,即xex=a,
又y=xex在(0,+∞)上是增函数,且当x→+∞时,xex→+∞,
所以xex=a在(0,+∞)上存在一解,不妨设为x0,
所以函数y=f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
所以函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点;
综上,当a≤0时,无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.
(2)因为a∈N*,由(1)知f(x)有极大值f(x0),且x0满足x0ex0=a,①
可知f(x)max=f(x0)=aln x0-ex0,要使f(x)<0恒成立,即f(x0)=aln x0-ex0<0恒成立,②
由①可得ex0=,代入②得aln x0-<0,
即a<0恒成立,
因为a∈N*,所以ln x0-<0,
因为ln 1.7-<0,ln 1.8->0,且y=ln x0-在(0,+∞)上是增函数,
设m为y=ln x0-的零点,则m∈(1.7,1.8),
可知00,a<,
令g(x)=,x∈(1,m),g′(x)=<0,
所以g(x)在(1,m)上是减函数,且≈10.29,≈10.31,
所以10.290时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,
f′(x)=ln(1+x)-.
设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,
则g′(x)=.
当-10时,g′(x)>0.
故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,且仅当x=0时,f′(x)=0.
所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.
(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.
(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.
由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.
h′(x)=-=.
如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点,综上,a=-.
【命题立意】本题主要考查应用导数研究函数的极值和证明不等式,考查运算求解和推理论证能力以及分类与整合和数形结合思想.
考点限时训练 【p147】
A组 基础演练
1.函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( )
A.2 B.2
C. D.1
【解析】选A.
因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,∴f′(x)=+2x-b,所以k=+2b-b=+b≥2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值为2,故选A.
2.由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )
A.e2-2e-1 B.e2-2e
C. D.e2-2e+1
【解析】选B.
f(x)与x轴交于点(1,0),故所求面积为S=(ex-e)dx=(ex-ex)|=e2-2e,故选B.
3.已知f(x)=x2-aln x在区间(0,2)上不单调,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,0)∪(0,2) B.(-4,0)∪(0,4)
C.(0,2) D.(0,4)
【解析】选D.
因为函数f(x)在区间(0,2)上不单调,所以f′(x)=x-=在(0,2)上有零点,即∈(0,2),所以a∈(0,4),故选D.
4.如图是函数y=cos在一个周期内的图象,则阴影部分的面积是( )
A. B.
C. D.-
【解析】选B.
由已知,函数y=cos的周期为T=π,图中阴影的最右的端点坐标为,故阴影部分的面积S=-∫0cosdx+∫cosdx=
-|0+|=
-+
=+1=,故选B.
5.已知函数y=x2的图象在点处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足( )
A.0,x=1-ln,x-1-ln 2x0=0.令h(x)=x2-1-ln 2x,则h()=1-ln 2<0,h()=2-ln 2>0,由零点存在定理得x0∈(,),选D.
6.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=[f(x)-x3]·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
【解析】(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,
得f′(x)=3x2+2ax-1.
当x=时,得a=f′=3×+2a×-1,解之,得a=-1.
(2)因为f(x)=x3-x2-x+c.
从而f′(x)=3x2-2x-1=3(x-1),列表如下:
x
-
1
(1 ,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
有极
大值
减
有极
小值
增
所以f(x)的单调递增区间是和(1,+∞); f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex,
有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex,
因为函数g(x)在区间x∈[-3,2]上单调递增,
等价于h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立,
只要h(2)≥0,解得c≥11,
所以c的取值范围是c≥11.
7.已知函数f(x)=ex+2ax.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为0,求a的值;
(3)若对于任意x≥0,f(x)≥e-x恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a≥0时,函数f′(x)=ex+2a>0,f(x)在R上单调递增;
当a<0时,f′(x)=ex+2a,
令ex+2a=0,得x=ln(-2a),
所以,当x∈(-∞,ln(-2a))时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
(2)由(1)可知,当a≥0时,函数f(x)=ex+2ax>0,不符合题意.
当a<0时,f′(x)=ex+2a,
因为,当x∈(-∞,ln(-2a))时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
①当ln(-2a)≤1,即-≤a<0时,f(x)最小值为f(1)=2a+e.
解2a+e=0,得a=-,符合题意.
②当ln(-2a)>1,即a<-时,f(x)最小值为
f(ln(-2a))=-2a+2aln(-2a).
解-2a+2aln(-2a)=0,得a=-,不符合题意.
综上,a=-.
(3)构建新函数g(x)=ex-e-x+2ax,g′(x)=ex+e-x+2a.
①当2a≥-2,即a≥-1时,
因为ex+e-x≥2,所以g′(x)≥0(且a=-1时,仅当x=0时,g′(x)=0.)
所以g(x)在R上单调递增.
又g(0)=0,所以,当a≥-1时,对于任意x≥0都有g(x)≥0.
②当a<-1时,解ex+e-x+2a<0,即(ex)2+2aex+1<0,
得-a-1.
所以ln(-a-)0.
所以g(x)在(0,ln(-a+))上单调递减.
又g(0)=0,所以存在x0∈(0,ln(-a+)),使g(x0)<0,不符合题意.
综上,a的取值范围为[-1,+∞).
B组 能力提升
8.设函数f(x)=x2-2x+1+aln x有两个极值点x1,x2,且x10,且f′(x)=,
∵f(x)有两个极值点x1,x2,∴x1,x2是方程2x2-2x+a=0的两根,
又∵00,故g(t)递增,∴g0,f(x)是增函数,∴x∈时,f(x)∈.设g(y)=y2ey,∵对任意的x∈,总存在唯一的y∈,使得ln x-x+1+a=y2ey成立,∴是g(y)的不含极值点的单值区间的子集,∵g′(y)=eyy(2+y),∴y∈时,若y∈[-1,0),g′(y)<0,g(y)是减函数,若y∈(0,1],g′(y)>0,g(y)是增函数,∴g(y)min=g(0)=0,∵g(-1)=0),
h′(x)=(2-a)-,
因为的最小值为3,所以h′(x)=0的根为x=.函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)min=h=6+ln(2-a)=6,a=1,x2=1,b=1,2a-b=1,填1.
11.已知函数f(x)=ln x+x2-ax,a∈R.
(1)已知函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围;
(2)设x=m和x=n是函数f(x)的两个极值点(其中n>m).若a≥,求f(n)-f(m)的最大值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)=ln x+x2-ax,
所以f′(x)=+x-a=.
由题意得方程x2-ax+1=0有两个不相等的正根,故得a>2.
(2)由(1)知,x=m和x=n是方程x2-ax+1=0的两根,所以
f(n)-f(m)=ln +(n2-m2)-a(n-m)=ln +(n2-m2)-(n+m)(n-m)=ln -(n2-m2)=ln -=ln -.
设t=(t>1),则f(n)-f(m)=ln t-,又a≥,所以m+n≥,
则(m+n)2==t++2≥=,
于是有t+≥,由于函数y=t+在t∈(1,+∞)单调递增,所以t≥2.
令g(t)=ln t-(t≥2),
则g′(t)=-=-<0.
所以g(t)在[2,+∞)上单调递减,
所以g(t)≤g(2)=ln 2-.
故f(n)-f(m)的最大值是ln 2-.
12.已知函数f(x)=aln x+bx2+x(a,b∈R).
(1)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为1,且对任意x∈[1,e]有f(x)-x≤(a+2)·成立,求实数a的取值范围;
(2) 若h(x)+x=f(x)+x2,求h(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值.
【解析】(1)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为1,则f′(1)=a+b+1=1,则a=-b.
故f(x)=aln x-x2+x,
若f(x)-x=aln x-x2≤(a+2)成立,
则a(x-ln x)≥x2-2x成立,∵x∈[1,e],
∴ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,
所以ln x0.
因而a≥(x∈[1,e]).
令g(x)=(x∈[1,e]),
又g′(x)=,
当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,
从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号),
所以g(x)在[1,e]上为增函数.
故g(x)的最大值为g(e)=,
所以实数a的取值范围是.
(2)h(x)+x=f(x)+x2⇒h(x)=aln x+x2,
h′(x)=(x>0),
当x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥-2,h′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,h′(x)=0),故函数h(x)在[1,e]上是增函数,此时[h(x)]min=h(1)=1.
若-2e20,此时h(x)是增函数.
故[h(x)]min=h=ln-.
若a≤-2e2时,h′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,h′(x)=0),故函数h(x)在[1,e]上是减函数,此时[h(x)]min=h(e)=a+e2.
综上可知,当a≥-2时,h(x)的最小值为1,相应的x值为1;
当-2e2