高考数学复习专题练习第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 6页

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 ‎1．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(1,1) B．(－1，－1)‎ C．(3,7) D．(－3，－7)[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 解析 ＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.‎ 答案 B ‎2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则‎2a＋3b等于(　　)‎ A．(－2，－4) B．(－3，－6)‎ C．(－4，－8) D．(－5，－10)‎ 解析 ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴‎2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．‎ 答案 C ‎3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　)．‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 解析　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.‎ 答案　D ‎4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ (　　)．‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析　依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，‎ 由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.‎ 答案　B ‎5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，‎ b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．120°‎ 解析 由p∥q得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，‎ 由余弦定理得cos C＝＝，‎ ‎∴C＝60°.‎ 答案 B ‎6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)‎ A. B. C．－3 D．0[来 解析 ＝－，＝＋，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴＝＋－＝－－，‎ ‎∴＝－，∴＝－.‎ 又＝r＋s，∴r＝，s＝－，‎ ‎∴r＋s＝0，故选D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．‎ 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，‎ 即ab－‎2a－2b＝0，所以＋＝.‎ 答案　 ‎8．设向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若向量λa＋b与向量c＝(6,2)共线，则实数λ ‎＝________.‎ 解析 因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以λa＋b＝(λ＋1,1)，‎ 因向量λa＋b与向量c＝(6,2)共线，‎ 所以＝，解得λ＝2.‎ 答案 2‎ ‎9．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M是BC的中点，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析 由题意知＝＋ ‎＝＋＝－＝－(＋)‎ ‎＝－－＝－＋ ‎＝－a＋b.‎ 答案 －a＋b ‎10. 设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．‎ 解析　由题意得点A的坐标为(－2,1)，点B的坐标为(4,3)，||＝，||＝5.‎ sin∠AOB＝sin(∠AOy＋∠BOy)‎ ‎＝sin∠AOycos∠BOy＋cos∠AOysin∠BOy ‎＝×＋×＝.‎ 故S△AOB＝||||sin∠AOB＝×5××＝5.‎ 答案　5‎ 三、解答题 ‎11．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：‎ ‎(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．‎ 解　(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．‎ 若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；‎ 若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－；‎ 若P在第二象限，则 ‎∴－＜t＜－.‎ ‎(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．‎ 若OABP为平行四边形，则＝，‎ ‎∵无解．‎ 所以四边形OABP不能成为平行四边形．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．‎ 解　(1)∵＝(cos θ－1，t)，‎ 又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.‎ ‎∴cos θ－1＝2t.①‎ 又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②‎ 由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.‎ 当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，‎ 当t＝－1时，cos θ＝－1，‎ ‎∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．‎ ‎(2)由(1)可知t＝，‎ ‎∴y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋ ‎＝＋＝2－，‎ ‎∴当cos θ＝时，ymin＝－.‎ ‎13．已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．‎ ‎(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；‎ ‎(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；‎ ‎(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．‎ ‎(1)解　f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，‎ f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．‎ ‎(2)解　设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，‎ 得所以 所以c＝(2p－q，p)．‎ ‎(3)证明　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，‎ 则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，‎ 所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)‎ 又mf(a)＝m(a2,‎2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，‎ 所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．‎ 故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).‎ ‎14．在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设 ＝p，＝q.求证：＋＝1.[来源 证明 设＝ma＋nb，‎ 则＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.‎ ‎∵A、M、D共线，即与共线，‎ ‎∴＝，得m＋2n＝1.①‎ ‎∵＝－＝a＋nb，＝－a＋b，‎ 又C、M、B共线，即与共线，‎ ‎∴＝，得‎4m＋n＝1，②‎ 由①②可得m＝，n＝.‎ ‎∴＝a＋b.‎ ＝a＋b，＝－pa＋qb，‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴q－pq＝－p，即＋＝1.‎