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  • 2021-06-30 发布

【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第5章第1讲数列的概念与简单表示法作业

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对应学生用书[练案34理][练案33文]‎ 第五章 数列 第一讲 数列的概念与简单表示法 A组基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·广东广州模拟)数列{an}为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是( A )‎ A.an=  B.an= C.an=  D.an= ‎[解析] 解法一:数列{an}为,,,,,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列,故其通项公式为an=.‎ 解法二:当n=2时,a2=3,而选项B、C、D,都不符合题意,故选A.‎ ‎2.已知数列1,2,,,,…,则2在这个数列中的项数是( C )‎ A.16  B.24 ‎ C.26  D.28‎ ‎[解析] 因为a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.令an==2=,解得n=26.‎ ‎3.已知数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,则a11的值为( A )‎ A.31  B.32 ‎ C.61  D.62‎ ‎[解析] 因为数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,所以a3=6+1=7,a5=6+7=13,a7=6+13=19,a9=6+19=25,a11=6+25=31.‎ ‎4.(2019·兰州市高三诊断考试)朱世杰是元代著名数学家,他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中提到一些堆垛问题,如“三角垛果子”,就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥,每层皆堆成正三角形,从上向下数,每层果子数分别为1,3,6,10,….现有一个“三角垛果子”,其最底层每边果子数为10,则该层果子数为( B )‎ A.50  B.55 ‎ C.100  D.110‎ ‎[解析] 由题意可知三角垛从上向下,每层果子数构成一个数列{an},其中a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,可变形为a1=,a2=,a3=,a4=,由此得数列{an}的通项为an=,则a10==55,故选B.‎ ‎5.(2019·福建泉州一中检测)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( D )‎ A.(3,6)  B.(1,2)‎ C.(1,3)  D.(2,3)‎ ‎[解析] ∵数列{an}是递增数列且an=∴ 解得21,所以a8为最大项,可知m=8. ‎ ‎12.(2019·北京人大附中期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=(n+1)an,则an=n .‎ ‎[解析] ∵2Sn=(n+1)an,∴n≥2时,2an=(n+1)an-nan-1,∴(n-1)an=nan-1,即=(n≥2),又a1=1,∴an=××…×=××…×=n.‎ 三、解答题 ‎13.(文)(2019·湖南衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1=3,an+1=4an+3.‎ ‎(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:=4.‎ ‎(理)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解析] (文)(1)a1=3,a2=15,a3=63,a4=255.‎ 因为a1=41-1,a2=42-1,a3=43-1,a4=44-1,…,‎ 所以归纳得an=4n-1.‎ ‎(2)因为an+1=4an+3,‎ 所以===4.‎ ‎(理)(1)因为Sn=an,且a1=1,‎ 所以S2=a2,即a1+a2=a2,得a2=3.‎ 由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=‎5a3,得a3=6.‎ ‎(2)由题意知a1=1.‎ 当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,‎ 整理,得an=an-1,即=.‎ 所以=3,=,=,…,=,‎ 将以上n-1个式子的两端分别相乘,得=.‎ 所以an=(n≥2).‎ 又a1=1适合上式,故an=(n∈N*).‎ ‎14.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.‎ ‎(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎[解析] (1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),‎ 即an+1+bn+1=(an+bn).‎ 又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,‎ 即an+1-bn+1=an-bn+2.‎ 又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.‎ 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,‎ bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.‎ B组能力提升 ‎1.(2020·湖北武汉武昌实验中学月考)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画出点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20,…,这样的一组数被称为梯形数,记此数列为{an},则( D )‎ A.an+1+an=n+2  B.an+1-an=n+2‎ C.an+1+an=n+3  D.an+1-an=n+3‎ ‎[解析] 由已知可得a2-a1=4,a3-a2=5,a4-a3=6,…,由此可以得到an+1-an=n+3.故选D.‎ ‎2.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=( C )‎ A.3(3n-2n)  B.3n+2‎ C.3n  D.3·2n-1‎ ‎[解析] 当n=1时,a1=3;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),‎ 得到an=3an-1,所以an=3n.故选C.‎ ‎3.数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 021等于( B )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 因为a1=<,所以a2=,a3=,a4=,a5=,所以数列具有周期性,周期为4,所以a2021=a1=.故选B.‎ ‎4.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).则下列说法正确的是( C )‎ A.这个数列的第10项为 B.是该数列中的项 C.数列中的各项都在区间[,1)内 D.数列{an}是单调递减数列 ‎[解析] an===.令n=10,得a10=,故选项A不正确;令=,得9n=300,此方程无正整数解,故不是该数列中的项,故选项B不正确;因为an===1-,又n∈N*,所以数列{an}是单调递增数列,所以≤an<1,所以数列中的各项都在区间[,1)内,故选项C正确,选项D不正确.故选C.‎ ‎5.(2019·银川模拟)已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证:数列{an}是递减数列.‎ ‎[解析] (1)f(log2an)=2log2an-2-log2an=an- 所以an-=-2n,‎ 所以a+2nan-1=0,解得an=-n±,‎ 因为an>0,所以an=-n,n∈N*.‎ ‎(2)= ‎=<1,‎ 因为an>0,所以an+1