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- 2021-06-30 发布
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对应学生用书[考案12理][考案12文]
选修4－5 综合过关规范限时检测
(时间：45分钟 满分100分)
1．(2019·南通模拟)[选修4－5：不等式选讲]
设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝|x|＋2|x－1|＝
当x<0时，2－3x≤4，得－≤x<0；
当0≤x≤1时，1≤2－x≤2，得0≤x≤1；
当x>1时，3x－2≤4，得11，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥.
[解析] (1)∵|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，
∴若存在实数x使|x－m|＋|x|<2成立，则|m|<2，解得－21，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，
∴α＋β＝4.
∴＋＝(α＋β)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当α＝2β＝时取等号．
3．(2019·威海模拟)已知函数f(x)＝|2x－2|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥6的解集；
(2)当x∈R时，f(x)≥－x＋a恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当x≤－2时，f(x)＝－x＋4，
∴f(x)≥6，即－x＋4≥6，x≤－2，故x≤－2；
当－20)的解集为[－，]，求实数m的值；
(2)若不等式f(x)≤|y|＋|a－y|＋|2x|对任意的x，y∈R都成立，求正实数a的最小值．
[解析] (1)由题意知，不等式|2x|≤2m＋1(m>0)的解为[－，]，
由|2x|≤2m＋1，得－m－≤x≤m＋，
∴m＋＝，－m－＝－，解得m＝1.
(2)由题意知，|2x－1|－|2x|≤|y|＋|a－y|恒成立，
∴(|2x－1|－|2x|)max≤(|y|＋|a－y|)min.
∵|2x－1|－|2x|≤|2x－1－2x|＝1，
∴1≤(|y|＋|a－y|)min.
又|y|＋|a－y|≥|y＋a－y|＝a，∴a≥1.
故正实数a的最小值为1.
5．(2019·武汉模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，
当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈[－，]时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．
6．(2019·佛山模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋|a－|＋|a|.
(1)若a＝1，解不等式f(x)>|x＋1|＋|x－1|；
(2)若存在x0使得f(x0)＝0，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，不等式f(x)>|x＋1|＋|x－1|即x2＋x＋>|x＋1|＋|x－1|.
①若x<－1，不等式可化为x2＋x＋>－x－1－x＋1，(x＋)2>，解得x<－或x>－，结合x<－1，得x<－；
②若－1≤x≤1，不等式可化为x2＋x＋>x＋1＋1－x，(x＋)2>，解得x<－或x>－，结合－1≤x≤1，得－1，不等式可化为x2＋x＋>x＋1＋x－1，x2－x＋>0，x∈R，结合x>1，得x>1.
综合①②③得不等式的解集为{x|x<－或x>－}．
(2)由题意可知Δ＝1－4(|a|＋|a－|)≥0，
即|a|＋|a－|≤，
|－a|≤－|a|，解得0≤a≤，
故a的取值范围为[0，]．
7．已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝2时，解不等式|x－|＋f(x)≥1；
(2)设不等式|x－|＋f(x)≤x的解集为M，若[，]⊆M，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，
①当x≤时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
②当0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.
(1)证明：2a＋b＝2；
(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
[解析] (1)证明：∵－a<，
∴f(x)＝
显然f(x)在(－∞ ，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的最小值为f()＝－＋a＋b＝1，即2a＋b＝2.
(2)∵a＋2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
＝＋＝(＋)(2a＋b)＝(5＋＋)＝＋(＋)≥＋2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”，
∴的最小值为.
∴t≤，即实数t的最大值为.
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