【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试69不等式选讲作业 9页

考点测试69　不等式选讲 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：‎ ‎|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；‎ ‎|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)‎ ‎2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；‎ ‎|ax＋b|≥c；‎ ‎|x－c|＋|x－b|≥a ‎3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 一、基础小题 ‎1．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)‎ A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4)‎ C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2)‎ 答案　D 解析　由－3的解集是(　　)‎ A．(0，2) B．(－∞，0)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ 答案　A 解析　由|t|>t知t<0，故<0，其解集为00，下面四个不等式中，正确的是(　　)‎ ‎①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|．‎ A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④‎ 答案　C 解析　∵ab>0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，‎ ‎∴①④正确，②③错误．选C．‎ ‎4．若|mx－1|<3的解集为(－1，2)，则m的值是(　　)‎ A．2或－4 B．2或－1‎ C．2或－4或－1 D．2‎ 答案　D 解析　由方程的思想，知－1和2是方程|mx－1|＝3的两个根，∴|m×(－1)－1|＝3，解得m＝2或m＝－4；‎ ‎|‎2m－1|＝3，解得m＝2或m＝－1，故m＝2．选D．‎ ‎5．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．‎ 答案　 解析　|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|‎ ‎⇔(2x＋1)2>4(x－1)2⇔12x>3⇔x>，‎ ‎∴原不等式的解集为xx>．‎ ‎6．若不等式|x－1|＋|x＋3|>a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(－∞，4)‎ 解析　由题意知(|x－1|＋|x＋3|)min>a．因为|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4(当－3≤x≤1时取等号)，所以a<4．‎ 二、高考小题 ‎7．(2015·山东高考)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1，4) D．(1，5)‎ 答案　A 解析　①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1；‎ ‎②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4；‎ ‎③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．‎ 综合①②③知x<4．选A．‎ ‎8．(2015·重庆高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．‎ 答案　－6或4‎ 解析　当a≤－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6；‎ 当a>－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4．综上，a＝－6或a＝4．‎ 三、模拟小题 ‎9．(2018·山东德州模拟)若关于x的不等式|x－2|＋|x＋3|1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)>1的解集为xx>．‎ ‎(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；‎ 若a>0，|ax－1|<1的解集为00，b>0，a3＋b3＝2．证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2．‎ 证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－‎2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4．‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋‎3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋(a＋b)＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．‎ 二、模拟大题 ‎6．(2018·河南豫南九校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|．‎ ‎(1)若关于x的不等式f(x)f(x)min，‎ f(x)＝绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞)．‎ 解法二：f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，当且仅当－1≤x≤3时，f(x)取得最小值4．‎ 关于x的不等式f(x)4，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．‎ ‎(2)由题意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝＋1＋－3＝5，求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得－1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8．‎ 解　(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝则－1≤f(x)≤1，‎ 由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，‎ 因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，‎ 则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，‎ b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，‎ c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，‎ 则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．‎ ‎10．(2018·河南郑州二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a．‎ ‎(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，‎ 解得x≤－1或x≥－，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪－，＋∞．‎ ‎(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，‎ 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，‎ 则h(x)＝ 故h(x)min＝h－＝－，‎ 所以实数a的取值范围为a≥－．‎