2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-5 函数的图像及应用（理科） 16页

第五节 函数的图像及应用 题型27 识图(知式选图、知图选式)‎ ‎1. （2013江西理10）如图，半径为的半圆与等边三角形夹在两平 行线之间，,与半圆相交于两点，与三角形 两边,相交于两点，设弧的长为，‎ ‎，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）.‎ ‎2．（2013四川理7）函数的图象大致是（ ）‎ ‎3. （2013山东理8）函数的图像大致为（ ）.‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4.（2014 福建理4）若函数的图像如图所示，则下列函数正确的是（ ）. ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ D.‎ ‎-1‎ ‎-3‎ ‎5.（2014 新课标1 理 6） ‎ ‎ 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图像大致为（ ）.‎ ‎1‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎6.(2015安徽理9)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.‎ A.，， ‎ B.，，‎ C.，， ‎ D.，，‎ ‎6. 解析 由题可得，所以，即．令，则，‎ 所以．令，则，所以，所以．故选C．‎ ‎7.（2016全国乙理7）函数在的图像大致为（ ）.‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.‎ 解析 设，由，可排除A（小于），B（从趋势上超过）；又时，，，‎ 所以在上不是单调函数，排除C.故选D.‎ 评注 排除B选项的完整论述，设=，则.由，，可知存在使得且时，所以在是减函数，即时切线斜率随的增大而减小，排除B.‎ 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用 ‎1.（2013江苏理13）在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）‎ 图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .‎ ‎2. (2013湖南理5）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）.‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0 ‎ ‎3. (2013重庆理6）若，则函数 的两个零点分别位于区间（ ）.‎ A. 和内 B. 和内 ‎ C. 和内 D. 和内 ‎4. (2013辽宁理11）已知函数，‎ ‎.设，‎ ‎，表示中的较大值，表示 中的较小值，记得最大值为，得最小值为，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.(2013湖南理20）在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”.如图6所示的路径与路径都是到的“路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处. 现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心.‎ ‎（1）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（2）若以原点为圆心，半径为的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点 的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小.‎ ‎6. (2013安徽理8）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围是（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.（2014 山东理 8）已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014 江苏理 13）已知是定义在上且周期为的函数，当时，‎ ‎．若函数在区间上有个零点（互不相同），‎ 则实数的取值范围是 ．‎ ‎8.（2014 天津理 14）已知函数，.若方程恰 有个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.‎ ‎8.（2014 浙江理 15）设函数，若，则实数的取值范 围是______.‎ ‎9.（2015北京理14）设函数 ‎（1）若，则的最小值为 ；‎ ‎（2）若恰有两个零点，则实数的取值范围是 .‎ ‎9. 解析 （1）若，.‎ 函数的值域为，因此的最小值为.‎ ‎（2）依题意，函数至多有一个零点.‎ 若函数恰有两个零点，则有两种情形：‎ ‎①函数，无零点，函数，有两个零点；‎ ‎②函数，有1个零点，函数，有一个零点.‎ 当函数满足情形①时，可得，解得.‎ 当函数满足情形②时，可得，解得.‎ 综上，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是.‎ ‎10.（2015湖南理15）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是 .‎ ‎10. 解析 利用数形结合解题. 问题等价于函数与有两个交点时的取值范围. 令=, 解得或.当，，时的的图像分别如图（1）（2）（3）所示，上下平移可知，图（1）和图（3）与有两个交点. 所以的取值范围为.‎ ‎ ‎ 图（1） 图（2） 图（3）‎ ‎11.（2015江苏13）已知函数，，‎ 则方程实根的个数为 ．‎ ‎11. 解析 解法一（逐步去绝对值）：当时，‎ ‎，‎ 故，（舍）或，即在上有一解为．‎ 当时，，故，‎ ‎，‎ ‎①当时，，‎ 不妨设，对恒成立，‎ 故单调递减，，，‎ 根据绝对值函数的性质分析，在上有一解；‎ ‎②当时，，‎ 不妨设，则对恒成立，‎ 故单调递增，，又，‎ 根据绝对值函数的性质分析，在上有两解．‎ 综上所述：方程实根的个数为．‎ 解法二（直接去绝对值）：设，‎ 则，下仿照解法一分析．‎ 或者通过分析的解亦可．‎ 解法三（图像转化）：因为，‎ 所以，‎ 从而，‎ 即或．‎ 先分别画出与的图形，如图所示：‎ 得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究与 的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有个交点．‎ 图形分析 图形分析 评注 本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．‎ ‎12.（2015天津理8）已知函数 ，函数 ，‎ 其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 解析 由得，‎ 所以，‎ 即 ‎，所以恰有个零点等价于方程 有个不同的解，即函数与函数的图像的个公共点，由图像可知.‎ ‎13.（2015山东理10）设函数,则满足的的取值范围是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎13.解析 因为，所以．①当时，，‎ 解得；②当时，，解得．‎ 综上所述，．故选C．‎ ‎14.(2015北京理7)如图所示，函数的图像为折线，则不等式的解集是（ ）. ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎14. 解析 函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出及的图像，如图所示.可知的解集为.‎ 故选C. ‎ ‎15.（2015全国I理12）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）.‎ A．　　 B． 　　C． 　　D．‎ ‎15.解析 由，且，知.‎ 所以满足题意的.又.‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，，函数在上单调递增.‎ 因此，若存在唯一整数，使得，‎ 则，即，解得，又，‎ 所以的取值范围是.故选D.‎ ‎16.（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.‎ ‎16.解析 因为，，即.由图像变换可作出与的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.‎ ‎17.（2017山东理10）已知当时，函数的图像与的图像有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎17.解析 解法一：过点且对称轴为.‎ 当时，，从而在区间上单调递减，函数与的草图如图所示，此时有一个交点；‎ 当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.若函数与有一个交点，草图如图所示，则，解得；‎ 当时，函数与显然在区间有且只有一个交点为.‎ 综上所述，的取值范围是.故选B.‎ 解法二：若，则的值域为；的值域为，所以两个函数的图像无交点，故排除C、D；若，则点是两个函数的公共点.故选B.‎ 题型33 函数中的创新题 ‎1.(2015全国II理10)如图所示，长方形的边，，是的中点，点沿着边与运动，.将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）．‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎1. 解析 由已知可得，当点在边上运动时，即时，‎ ‎；当点在边上运动时，即，时，‎ ‎ ；‎ 当时，； ‎ 当点在边上运动时，即时，.‎ 从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，，且轨迹非直线型.故选B.‎ ‎2.（2015四川理13）某食品的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位：)满足函数关系 (为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是 .‎ ‎2. 解析 由题意可得，即，‎ 所以当时，‎ ‎3.（2015四川理15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，，现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数，都有；‎ ‎②对于任意的及任意不相等的实数，都有；‎ ‎③对于任意的，存在不相等的实数，使得；‎ ‎④对于任意的，存在不相等的实数，使得.‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).‎ ‎3. 解析 ①.由得.‎ 令，则，故不单调.‎ 当时，为单调递减函数，不符合题意.‎ 当时，,由于是值域为的单调递增函数，故必存在一个，使得.且当时，.当时，.即不单调.所以①正确.‎ ‎②.由得.‎ 令，则，‎ 即对任意的，不单调.取，则。此时对任意的，都不单调.所以不一定有.②错误.‎ ‎③.若，则，即.‎ 令，则不单调.‎ 令，得要有根.‎ 令则，是值域为的增函数.所以存在，使得.‎ 所以在单调递减，在上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的，不一定有根.所以③错误.‎ ‎④.若，则，即.‎ 令,则不单调.‎ 令，得要有根.而是值域为的减函数，所以一定会有根.所以对任意的，存在不相等的实数，使得.④正确.所以真命题为①，④.‎ ‎4.（2016山东理10）若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4. A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.‎ ‎5.（2016全国甲理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，⋯，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5. B解析 由得，关于对称，而也关于 对称，所以对于每一组对称点有，，所以.故选B.‎ ‎6.（2016上海理18）设是定义域为的三个函数，对于命题：①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.‎ A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 ‎ C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 ‎6.解析 ①不成立，可举反例.增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.‎ 如：，， .故①错误.‎ ‎②由题意，，‎ ‎，前两式求和后与第三式作差得，‎ 同理可得，.故②正确.故选D.‎ 评注 按照②的逻辑，得到有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.‎ ‎7.（2016四川理15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ ‎①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.‎ ‎②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.‎ ‎③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称.‎ ‎④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎7.②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是.故错误；‎ 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上.故②正确；‎ 对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称，所以③正确；‎ 对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆.故④错误.所以正确的序号为②③.‎