高中数学必修5：2_1《数列的概念》测试（新人教A版必修5） 3页

基础过关 ‎1数列的概念 ‎1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．‎ ‎2．数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． ‎ ‎3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：‎ ‎ ‎ ‎4．求数列的通项公式的其它方法 ‎⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．‎ ‎⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．‎ ‎⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.‎ 典型例题 ‎ ‎ 例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． ‎ ‎⑴ －，，－，…；‎ ‎⑵ 1，2，6，13，23，36，…；‎ ‎⑶ 1，1，2，2，3，3，‎ 解： ⑴ an＝(－1)n ‎⑵ an＝‎ ‎（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得 ‎⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为 ‎∴‎ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：‎ ‎① an＝[1＋(－1)n] ② an＝‎ ‎③ an＝ ‎ 其中可作为{an}的通项公式的是 （ ）‎ A．① B．①②‎ C．②③ D．①②③‎ 解：D ‎ 例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．‎ ‎⑴ Sn＝3n－2‎ ‎⑵ Sn＝n2＋3n＋1‎ 解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1‎ ‎ 解得：an＝‎ ‎ ⑵ an＝ ‎ 变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．‎ 解：当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝‎ 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．‎ ‎⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)‎ ‎⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)‎ ‎⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)‎ 解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．‎ ‎⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝．‎ ‎(3)∵‎ ‎∴an＝‎ ‎ ‎ 变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．‎ 解：方法一：由an＋1＝得 ‎，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎∴＝1＋(n－1)·,即an＝‎ 方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明．‎ 例4. 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．‎ 解：‎ 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．‎ ‎(1) 证明数列{an＋1}是等比数列；‎ ‎(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)．‎ 解：(1) 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得：‎ Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1‎ 从而an＋1＋1＝2(an＋1)‎ 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝‎2a1＋6,‎ 又a1＝5，∴ a2＝11‎ ‎∴ ＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎(2) 由(1)知an＝3×2n－1 ‎ ‎∵ ＝a1x＋a2x2＋…＋anxn ‎∴ ＝a1＋‎2a2x＋…＋nanxn－1‎ 从而＝a1＋‎2a2＋…＋nan ‎＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)‎ ‎＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)‎ ‎＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－‎ ‎＝3(n－1)·2n＋1－＋6‎ 归纳小结 ‎1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.‎ ‎2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．‎ ‎3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．‎ ‎ ‎