【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第九章46直线与圆、圆与圆的位置关系作业 6页

第46节　直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 ‎1．(2018湖北七市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转150°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 ‎【答案】B ‎【解析】依题意，得直线l的方程是y＝tan 150°(x－1)＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．‎ ‎2．(2018菏泽模拟)已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ C．1∶4 D．1∶5‎ ‎【答案】A ‎【解析】(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2.故选A.‎ ‎3．(2018惠州调研)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－3　，3　)‎ B．(－∞，－3　)∪(3　，＋∞)‎ C．(－2　，2　)‎ D．(－∞，－2　)∪(2　，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝＜3，解得－3　＜a＜3　.故选A.‎ ‎4．(2018广州模拟)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．若·＝，则实数m的值为(　　)‎ A．±1 B．± C．± D．± ‎【答案】C ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由得2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝‎4m2‎－8(m2－1)＝8－‎4m2‎＞0，－＜m＜.x1＋x2＝－m，x1x2＝，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，又·＝－x1x2－y1y2＋x＋y＝，故x1x2＋y1y2＝－，故2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－，即m2－1－m2＋m2＝－，得m2＝，m＝±.故选C.‎ ‎5．(2018安徽芜湖质检)已知b2＝a，则直线x－y＋3＝0被圆x2＋y2－2ax－4by＋a2＋4b2－6＝0截得的弦长的最大值为(　　)‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得(x－a)2＋(y－2b)2＝6，圆心为(a,2b)，半径为，圆心(a,2b)到直线x－y＋3＝0的距离d＝，弦长l＝2×‎ ＝2×≤4，当且仅当b＝1时取等号，故弦长的最大值为4.故选D.‎ ‎6．(2018广东江门一模)已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是(　　)‎ A．(1,5) B．[1,5]‎ C．(1,3] D．[1,3]‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，当r＝1时，(x－3)2＋y2＝1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN；当r＝5时，(x－3)2＋y2＝25经过点M(－2,0)，同理圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN.故选A.‎ ‎7．(2018湖北八校联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2　，则ab的最大值为(　　)‎ A. B．4‎ C． D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，因为直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，故直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为.故选C.‎ ‎8．(2018河南六市一模)若圆x2＋(y－1)2＝r2与曲线(x－1)y＝1没有公共点，则半径r的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B． C．(0，) D． ‎【答案】C ‎【解析】取曲线上的点，其中a≠1，‎ 则圆心(0,1)与点的距离d＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝≥，所以若圆与曲线无公共点，则0＜r＜.故选C.‎ 二、填空题 ‎9．(2019银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是____________．‎ ‎【答案】x＋y－3＝0‎ ‎【解析】可求得点M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM＝＝1，则kl＝－1，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0.‎ ‎10．(2018福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B两点，则·的值为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由题意得点C的坐标为(3,3)．由解得或可令A(3,5)，‎ B(1,3)，∴＝(0,2)，＝(－2,0)．∴·＝0.‎ ‎11．(2018洛阳模拟)已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为__________．‎ ‎【答案】x－2＝0或3x－4y＋10＝0‎ ‎【解析】圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0的圆心坐标为(1,2)，半径为.因为过点(2,4)的直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离为1.①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x－2＝0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，所以＝1，解得k＝，所求直线l的方程为3x－4y＋10＝0.故直线l的方程为x－2＝0或3x－4y＋10＝0.‎ ‎12．(2018湖南长沙一模)过点P(3,2)作圆O：x2＋y2＝4的切线，则切线的方程为________．‎ ‎【答案】12x－5y－26＝0或y－2＝0‎ ‎【解析】因为|OP|＝＝，所以点P(3,2)在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离，故可设切线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.又圆心为O(0,0)，半径r＝2，故圆心到切线的距离d＝＝2，即|3k－2|＝2，所以k＝或k＝0.故所求切线的方程为12x－5y－26＝0或y－2＝0.‎ 三、解答题 ‎13．(2018洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．‎ ‎(1)求圆S的方程；‎ ‎(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，且∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，‎ 由得 所以圆S的圆心为S(4,4)，半径为|SA|＝5.‎ 故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.‎ ‎(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理，得2x2－2mx＋m2－‎8m＋7＝0.‎ 令Δ＝(－‎2m)2－8(m2－‎8m＋7)＞0，得8－5＜m＜8＋5.设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝m，x1x2＝.‎ 依题意得·＜0，即x1x2＋(－x1＋m)·(－x2＋m)＜0，即m2－‎8m＋7＜0，解得1＜m＜7.‎ 故实数m的取值范围是{m|8－5＜m＜8＋5}∩{m|1＜m＜7}＝{m|1＜m＜7}．‎