湖南省常德市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 含答案 9页

数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位：常德市 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 命题“若 a>－3，则 a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知命题 p： ，则 为(　　) A． B． C． D． 3. 高三（8）班有学生 54 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的样 本，已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是(　　) A．8 B．13 C．15 D．31 4. 已知一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子 中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是(　　) A． B． C． D． 5. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单 位：吨)的几组对应数据： x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为y ^ ＝0.7x＋0.35，那么表格中 t 的值为 A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5 6. 已知 a，b 是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知向量 a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若 a∥b，则 λ+ 的值可以是(　　) A． B． C．-3 D．2 （第 8 题图） 8. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据 的中位数相等，且平均数也相等，则 x+y 的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 9. 已知点 A 是圆 M 的圆周上一定点，若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B，连接 AB， 则“线段 AB 的长度大于圆 M 的半径”的概率约为(　　) A． B． C． D． 10. 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2 的直线 l 交 C ,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R p¬ ,e 1 0xx x∀ ∉ − − >R ,e 1 0xx x∀ ∈ − − >R 0 0 0,e 1 0xx x∃ −∈ − >R 3 10 3 5 7 10 2 5 1 2 1 6 1 3 2 3 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 8 3，则 C 的方程为(　　) A．x2 3＋y2 2＝1 B．x2 3＋y2＝1 C．x2 12＋y2 8＝1 D．x2 12＋y2 4＝1 11. 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，D 是棱 PB 的中点，已知 PA=BC=2，AB=4， CB⊥AB，PA⊥平面 ABC，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为(　　) A．- B．- C． D． （ 第 11 题图） 12.已知 F1，F2 为双曲线的焦点，过 F2 作垂直于实轴的直线交双曲线于 A，B 两点，BF1 交虚 轴于点 C，若 ，则双曲线的离心率为(　　) A． 2 B． 3 C．2 2 D．2 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 某高级中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例分别如扇形统计 图所示，现要抽取一个容量为 26 的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为 . （第 13 题图） （第 15 题图） 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A、B 两点，其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°，则|OA|=　　　　　. 15. 如图，在一个 60°的二面角的棱上，有两个点 A、B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个 半平面内垂直于 AB 的线段，且 AB=2，AC=3，BD=4，则 CD 的长为　　　　　. 16. 已知椭圆 的右焦点为 F2，点 M 在⊙O：x2＋y2＝3 上，且M 在第－象限，过点M 作⊙O 的切线交椭圆与 P，Q 两点，则△PF2Q 的周长为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) （1）已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4x<0，若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）已知命题 p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题 q：“∃x0∈R，使得 x20＋4x0＋a＝0”若命题 “p∧ q”是真命题，求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某高校在 2019 年的自主招生笔试成绩(满分 200 分)中，随机抽取 100 名考生的成绩，按 此成绩分成五组，得到如下的频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 [90,110) 15 a 第二组 [110,130) 25 0.25 第三组 [130,150) 30 0.3 第四组 [150,170) b c 第五组 [170,190] 10 0.1 （1）求频率分布表中 a,b,c 的值； （2）估计笔试成绩的平均数及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（精确 到 0.1） （3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生参加面试，用简单随 机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副小组长，求“抽取的 2 人为同一组”的概率. 2 2 14 3 x y+ = 19.(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 三 棱 锥 S-ABC 中 ， 平 面 SAB ⊥ 平 面 ABC ， △SAB 是 等 边 三 角 形 ， 已 知 AC=2AB=4，BC=2 . (1) 求证：平面 SAB⊥平面 SAC； (2) 求直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 2 2 .直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当∆AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值. 21.(本小题满分 12 分) 如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，将△BCD 沿对角线 BD 折起到∆BC'D 的位置，使平面 BC'D⊥平面 ABD，E 是 BD 的中点，FA⊥平面 ABD，且 FA=2 ，如图 2. (1) 求证：FA∥平面 BC'D； (2) 求平面 ABD 与平面 FBC'所成角的余弦值； (3) 在线段 AD 上是否存在一点 M，使得 C'M⊥平面 FBC'？若存在，求 的值；若不存在， 说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x=-1，直线 l 与抛物线相 交于不同的 A、B 两点. (1) 求抛物线的标准方程； (2) 如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值； (3) 如果 =-4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明 理由. 数学 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B A B A C D C D B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.9； 14.2 ； 15. ； 16.4. 三、解答题：共 20 分，每小题 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0 0， a＋1 < 4，解得 0= . 则平面 ABD 与平面 FBC'所成角的余弦值为 . (3)解 假设在线段 AD 上存在 M(a,b,c),使得 C'M⊥平面 FBC', 设 =λ ,则(a,b+ ,c)=λ(-1, ,0)=(-λ, λ,0), ∴a=-λ,b= (λ-1),c=0.而 =(-λ, (λ-1),- ). 由 m∥ ,可知 λ 不存在, ∴线段 AD 上不存点 M,使得 C'M⊥平面 FBC'. 22 解 (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x=-1, ∴ =1,p=2. ∴抛物线的标准方程为 y2=4x. (2)若直线 l 斜率存在,则设 l:my=x-1,与 y2=4x 联立,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=4m,y1y2=-4. ∴ =x1x2+y1y2=(m2+1)·y1y2+m(y1+y2)+1=-3. 若直线 l 斜率不存在,则易得 A(1,2),B(1,-2), ∴ =1-4=-3. 综上可得 =-3. (3)假设直线 l 过定点且斜率存在, 设 l:my=x+n, 得 y2-4my+4n=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=4m,y1y2=4n. 由 =(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n=-4,解得 n=-2. 满足 Δ=16m2-16n>0, ∴l:my=x-2 过定点(2,0). 若直线 l 过定点且斜率不存在,则设 l:x=t(t>0), 则 A(t,2 ),B(0,-2 ), ∴ =t2-4t, 由 t2-4t=-4 得 t=2, ∴直线 l 过定点(2,0).