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- 2021-06-30 发布
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衡水独家秘籍之2019高中期末复习
专题三函数单调性的判断与证明
【方法综述】
1.函数的单调性
(1).增函数:若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数;
(2)减函数:若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数.
2.复合函数单调性的结论:
y=f(t)
递增
递减
t=g(x)
递增
递减
递增
递减
y=f[g(x)]
递增
递减
递减
递增
以上规律可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.不过要注意:单调区间必须注意定义域;要确定t=g(x)(常称内层函数)的值域,否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性.
3.用定义证明函数单调性中的变形策略
由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性,其步骤为:取值→作差→变形→定号.其中变形是最关键的一步,合理变形是准确判断f(x1)-f(x2)的符号的关键所在.常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等,下面举例说明.
例1.求证:函数f(x)=x2-4x在(-∞,2]上是减函数.
证明:设x1,x2是(-∞,2]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x-4x1)-(x-4x2)
=(x1-x2)(x1+x2-4).
因为x1<x2≤2,所以x1-x2<0,x1+x2-4<0.
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
故函数f(x)在(-∞,2]上是减函数.
评注 因式分解是变形的常用策略,但必须注意,分解时一定要彻底,这样才利于判断f(x1)-f(x2)的符号.
例2.求证:函数f(x)=x3+1在R上是增函数.
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x+1-x-1
=x-x
=(x1-x2)(x+x1x2+x)
=(x1-x2).
因为x1<x2,所以x1-x2<0,2+x>0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)在R上是增函数.
评注 本题极易在(x1-x2)(x+x1x2+x)处“止步”而致误.而实际上当我们不能直接判断x+x1x2+x的符号,又不能因式分解时,采用配方则会“柳暗花明”.
例3.已知函数f(x)=x+,求证:函数f(x)在区间(0,1]上是减函数.
证明:设x1,x2是区间(0,1]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=(x1-x2)+=(x1-x2)+
=(x1-x2)=(x1-x2).
因为x1<x2,且x1,x2∈(0, 1],
所以x1-x2<0,0<x1x2<1.
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故函数f(x)在(0,1]上是减函数.
评注 同样,我们可以证明f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数.
例4.已知函数f(x)=,求证:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
证明:设x1,x2是区间[1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-
= .
因为x1<x2,且x1,x2∈[1,+∞),
所以x1-x2<0,+>0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)-f(x2)符号的目的.
例5.求函数y=的单调区间.
解:函数y=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
设t=(x+1)2,则y=(t>0).
当x∈(-∞,-1)时,t是x的减函数,y是t的减函数,
所以(-∞,-1)是y=的递增区间;
当x∈(-1,+∞)时,t是x的增函数,y是t的减函数,
所以(-1,+∞)是y=的递减区间.
综上知,函数y=的递增区间为(-∞,-1),递减区间为(-1,+∞).
例6. 求y=的单调区间.
解:由x2-2x-3≠0,得x≠-1或x≠3,
令t=x2-2x-3(t≠0),则y=,
因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,
而t=x2-2x-3在(-∞,-1),(-1,1)上为减函数,
在(1,3),(3,+∞)上是增函数,所以函数y=的递增区间为(-∞,-1),(-1,1),
递减区间为(1,3),(3,+∞).
【针对训练】
1.下列四个函数中,在-∞,0上为减函数的是( )
A. fx=x2-2x B. fx=-x2
C. fx=x+1D. fx=1x
【答案】A
【解析】
对于选项A,函数的图像的对称轴为x=1,开口向上,所以函数在-∞,0
上为减函数.所以选项A是正确的.对于选项B,fx=-x2在在-∞,0上为增函数,所以选项B是错误的. 对于选项C,fx=x+1在在-∞,0上为增函数,所以选项C是错误的.对于选项D,
fx=1x,当x=0时,没有意义,所以选项D是错误的.
故答案为:A.
2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
【答案】C
【解析】当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.
3.若函数与在上都是减函数,则在上是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
【答案】B
【解析】
由函数与在上都是减函数,可得.则一元二次函数在上为减函数.故选B.
4.定义在上的函数对任意两个不相等实数,,总有成立, 则必有( )
A.在上是增函数 B.在上是减函数
C.函数是先增加后减少 D.函数是先减少后增加
【答案】A
【解析】
若则由题意知,一定有成立,由增函数的定义知,该
函数在上是增函数;同理若,则一定有成立,即该函数在上是增函数.所以函数在上是增函数.故应选A.
5.已知fx=1+2x-x2,那么gx=ffx( )
A. 在区间-2,1上单调递增 B. 在0,2上单调递增
C. 在-1,1上单调递增 D. 在1,2上单调递增
【答案】D
【解析】fx=1+2x-x2=-x-12+2,在
记t=fx,则gx= ft
当x∈-2,1时,fx单调递增,且t=fx∈-7,2)
而y= ft在-7,2)不具有单调性,故A错误;
当x∈0,2时,fx不具有单调性,故B错误;
当x∈-1,1时,fx单调递增,且t=fx∈-3,2)
而y= ft在-3,2)不具有单调性,故C错误;
当x∈1,2时,fx单调递减,且t=fx∈1,2)
而y= ft在1,2)单调递减,根据“同增异减”知,D正确.
故选:D
6.试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
【答案】见解析
【解析】
设-10,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
7.已知a>0,函数f(x)=x+(x>0),证明:函数f(x)在(0,]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数.
【答案】见解析.
【解析】任意取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2).
当≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1-<0,有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0)在(0,]上为减函数;
当x1>x2≥时,x1-x2>0,1->0,有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
此时,函数f(x)=x+(a>0)在[,+∞)上为增函数;
综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数.
8.已知函数f(x)=ax+bx的图象经过点A(1,1),B(2,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
【答案】(1)f(x)=-x+2x(x≠0).(2)见解析.
【解析】
(1)由 f(x)的图象过A、B,则,解得.
∴ (x≠0).
(2)证明:设任意x1,x2∈,且x10,x1x2+2>0.
由x10,f(1)=2.
(1)求f(0),f(3)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
【答案】(1)f0=0,f3=6;(2)fx单调递增,证明见解析;(3)a≤3.
【解析】
(1)令x=0,y=0,即可得到f0=0,再令x=y=1,可得f2=4,令x=2,y=1即可求得f3=6;
(2)fx单调递增,
证明:任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,
fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1+fx1-fx1=fx2-x1,
因为x2-x1>0,所以fx2-x1>0,
所以fx在R上单调递增.
10.已知定义在区间(0,+∞)上的函数fx满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,fx>0.
(1)求f1的值;
(2)证明:fx为单调增函数;
(3)若f(15)=-1,求fx在[125,125]上的最值.
【答案】(1)f(1)=0.(2)见解析(3)最小值为﹣2,最大值为3.
【解析】试题分析:(1)利用赋值法进行求f(1)的值;
(2)根据函数的单调性的定义判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.
(3)根据函数单调性的性质,并利用赋值法可得函数的最值.
试题解析:(1)∵函数f(x)满足f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)证明:(2)设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,
∴f()>0,
∴f(x1)﹣f(x2)=f(x2⋅)﹣f(x2)=f(x2)+f()﹣f(x2)=f()>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
(3)∵f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
若,则f()+f()=f()=﹣2,
即f(•5)=f(1)=f()+f(5)=0,
即f(5)=1,
则f(5)+f(5)=f(25)=2,
f(5)+f(25)=f(125)=3,
即f(x)在上的最小值为﹣2,最大值为3.