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  • 2021-06-30 发布

2020届长春地区高三文科数学一模试题

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长春市 2020 届高三质量监测(一) 文科数学 本试卷共 4 页. 考试结束后,将答题卡交回. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 复数 2z i   的共轭复数 z 对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 { | 2 2}A x x x ≥ 或 ≤ , 2{ | 3 0}B x x x   , BA则 A.  B. { | 3 2}x x x 或 ≤ C. { | 3 0}x x x 或 D. { | 3 1}x x x 或 3. 已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS , 5,15 45  aS ,则 9S A. 45 B. 63 C. 54 D. 81 4. 已知条件 :p 1x  ,条件 :q 2x ≥ ,则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 2019 年是新中国成立七十周年,新中国 成立以来,我国文化事业得到了充分发 展,尤其是党的十八大以来,文化事业 发展更加迅速,下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个) 与对应年份编号的散点图(为便于计算, 将 2013 年 编 号 为 1 , 2014 年 编 号 为 2…2018 年编号为 6,把每年的公共图书 馆业机构个数作为因变量,把年份编号 从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线  13.743 3095.7y x  ,其相关 指数 9817.02 R ,给出下列结论,其中正确的个数是 ①公共图书馆业机构数与年份正相关很强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知直线 0x y  与圆 2 2( 1) ( ) 2x y b    相切,则b  A. 3 B. 1 C. 3 或1 D. 5 2 7. 已知 31( )3a  , 1 33b  , 1 3 log 3c  ,则 A. cba  B. abc  C. bac  D. acb  8. 已知 , ,a b c 为直线, , ,   平面,则下列说法正确的是 ① , , //a b a b   则 ; ② , ,       则 ; ③ // , // , //a b a b  则 ; ④ // , // , //     则 . A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④ 9. 函数 2sin( )y x   ( 0  , 2   )的图象(部分图象如图所示),则其解析 式为 A. )62sin(2)(  xxf B. )6sin(2)(  xxf C. )64sin(2)(  xxf D. )6sin(2)(  xxf 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下,折扇可看 作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为 1S , 圆面中剩余部分的面积为 2S ,当 1S 与 2S 的比值为 2 15  时, 扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 A. (3 5) B. )15(  C. )15(  D. )25(  11. 已知 F 是抛物线 2 4y x 的焦点,则过 F 做倾斜角为 60 的直线分别交抛物线于 ,A B ( A 在 x 轴上方)两点,则 | | | | AF BF 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数 1 ( 0)( ) ( 0) xe xf x x x       ≤ ,若存在 0x R 使得 0 0( ) ( 1) 1f x m x  ≤ 成立, 则实数 m 的取值范围是 A. (0, ) B. [ 1,0) (0, )  C. ( , 1] [1, )   D. ( , 1] (0, )   x y 1 2 o 11 12  二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知 5 1 2cos2sin   ,则 sin __________. 14. 设变量 yx, 满足约束条件 0 3 4 2 0 x y x y x      ≤ ≤ ≥ ,则 yxz 3 的最小值等于_________. 15. 三棱锥 P ABC 中 PA  平面 ABC , AB AC , 10, 2, 2PA AB AC   , 则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为__________. 16. 已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若 ( , )m b c a b   , (sin ,sin sin )n C A B  ,且 m n  ,则 A  ____________;若 ABC△ 的面积为 3 , 则 ABC△ 的周长的最小值为____________. 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 na 中, 1 2a  , 1 1 2 2n n na a     ,设 2 n n n ab  . (Ⅰ)求证:数列 nb 是等差数列; (Ⅱ)求数列 1 1{ } n nb b  的前 n 项和为 nS . 18. (本小题满分 12 分) 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它 的行车里程的等级,右表是对 100 辆新车模型在一个耗 油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果. (Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其 中位数落在哪一组; (Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40) 与 [40,42) 的新车模型中任取 5 辆,并从这 5 辆中随机抽 取 2 辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42) 内的概率. 分组 频数 [30,32) 6 [32,34) 10 [34,36) 20 [36,38) 30 [38,40) 18 [40,42) 12 [42,44] 4 19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 111 CBAABC  中,平面 ABC ,平面 1 1ACC A , 平面 1 1BCC B 两两垂直. (Ⅰ)求证: 1,, CCCBCA 两两垂直; (Ⅱ)若 aCCCBCA  1 ,求三棱锥 BCAB 11  的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 )0,1(),0,1( NM  若点 ),( yxP 满足| | | | 4PM PN  . (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)过点 )0,3(Q 的直线 l 与(Ⅰ)中曲线相交于 BA, 两点, O 为坐标原点, 求 AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 x xxxf 1ln)(  (Ⅰ)求函数 )(xf 的极值; (Ⅱ)若 )1,0(x 时,不等式 2ln)1( 1   xxa x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第 一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 21 ,2 ( 22 2 x t t y t       为参数),以坐标 原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的C 极坐标方程为 3cos42   , (Ⅰ)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)直线l 与圆C 交于 BA, 两点,点 )2,1(P ,求 PBPA  的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 13)(  xxxf (Ⅰ)解关于 x 的不等式 ( ) 1f x x ≥ ; (Ⅱ)若函数 )(xf 的最大值为 M ,设 0,0  ba ,且 Mba  )1)(1( ,求 ba  的最小值.