2020届长春地区高三文科数学一模试题 8页

长春市 2020 届高三质量监测（一） 文科数学 本试卷共 4 页. 考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 复数 2z i   的共轭复数 z 对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 { | 2 2}A x x x ≥ 或 ≤ ， 2{ | 3 0}B x x x   ， BA则 A.  B. { | 3 2}x x x 或 ≤ C. { | 3 0}x x x 或 D. { | 3 1}x x x 或 3. 已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ， 5,15 45  aS ，则 9S A. 45 B. 63 C. 54 D. 81 4. 已知条件 :p 1x  ，条件 :q 2x ≥ ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 2019 年是新中国成立七十周年，新中国 成立以来，我国文化事业得到了充分发 展，尤其是党的十八大以来，文化事业 发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个） 与对应年份编号的散点图（为便于计算， 将 2013 年 编 号 为 1 ， 2014 年 编 号 为 2…2018 年编号为 6，把每年的公共图书 馆业机构个数作为因变量，把年份编号 从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线  13.743 3095.7y x  ，其相关 指数 9817.02 R ，给出下列结论，其中正确的个数是 ①公共图书馆业机构数与年份正相关很强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知直线 0x y  与圆 2 2( 1) ( ) 2x y b    相切，则b  A. 3 B. 1 C. 3 或1 D. 5 2 7. 已知 31( )3a  ， 1 33b  ， 1 3 log 3c  ，则 A. cba  B. abc  C. bac  D. acb  8. 已知 , ,a b c 为直线， , ,   平面，则下列说法正确的是 ① , , //a b a b   则 ； ② , ,       则 ； ③ // , // , //a b a b  则 ； ④ // , // , //     则 . A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④ 9. 函数 2sin( )y x   （ 0  ， 2   ）的图象（部分图象如图所示），则其解析 式为 A. )62sin(2)(  xxf B. )6sin(2)(  xxf C. )64sin(2)(  xxf D. )6sin(2)(  xxf 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看 作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 1S ， 圆面中剩余部分的面积为 2S ，当 1S 与 2S 的比值为 2 15  时， 扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 A. (3 5) B. )15(  C. )15(  D. )25(  11. 已知 F 是抛物线 2 4y x 的焦点，则过 F 做倾斜角为 60 的直线分别交抛物线于 ,A B （ A 在 x 轴上方）两点，则 | | | | AF BF 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数 1 ( 0)( ) ( 0) xe xf x x x       ≤ ，若存在 0x R 使得 0 0( ) ( 1) 1f x m x  ≤ 成立， 则实数 m 的取值范围是 A. (0, ) B. [ 1,0) (0, )  C. ( , 1] [1, )   D. ( , 1] (0, )   x y 1 2 o 11 12  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知 5 1 2cos2sin   ，则 sin __________. 14. 设变量 yx, 满足约束条件 0 3 4 2 0 x y x y x      ≤ ≤ ≥ ，则 yxz 3 的最小值等于_________. 15. 三棱锥 P ABC 中 PA  平面 ABC ， AB AC ， 10, 2, 2PA AB AC   ， 则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为__________. 16. 已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 ( , )m b c a b   ， (sin ,sin sin )n C A B  ，且 m n  ，则 A  ____________；若 ABC△ 的面积为 3 ， 则 ABC△ 的周长的最小值为____________. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 na 中， 1 2a  ， 1 1 2 2n n na a     ，设 2 n n n ab  . （Ⅰ）求证：数列 nb 是等差数列； （Ⅱ）求数列 1 1{ } n nb b  的前 n 项和为 nS . 18. （本小题满分 12 分） 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它 的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗 油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果. （Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其 中位数落在哪一组； （Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40) 与 [40,42) 的新车模型中任取 5 辆，并从这 5 辆中随机抽 取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42) 内的概率. 分组 频数 [30,32) 6 [32,34) 10 [34,36) 20 [36,38) 30 [38,40) 18 [40,42) 12 [42,44] 4 19. （本小题满分 12 分） 在三棱柱 111 CBAABC  中，平面 ABC ，平面 1 1ACC A ， 平面 1 1BCC B 两两垂直. （Ⅰ）求证： 1,, CCCBCA 两两垂直； （Ⅱ）若 aCCCBCA  1 ，求三棱锥 BCAB 11  的体积. 20. （本小题满分 12 分） 已知点 )0,1(),0,1( NM  若点 ),( yxP 满足| | | | 4PM PN  . （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）过点 )0,3(Q 的直线 l 与（Ⅰ）中曲线相交于 BA, 两点， O 为坐标原点， 求 AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21. （本小题满分 12 分） 设函数 x xxxf 1ln)(  （Ⅰ）求函数 )(xf 的极值； （Ⅱ）若 )1,0(x 时，不等式 2ln)1( 1   xxa x 恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第 一题计分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 21 ,2 ( 22 2 x t t y t       为参数)，以坐标 原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的C 极坐标方程为 3cos42   ， （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l 与圆C 交于 BA, 两点，点 )2,1(P ，求 PBPA  的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 13)(  xxxf （Ⅰ）解关于 x 的不等式 ( ) 1f x x ≥ ； （Ⅱ）若函数 )(xf 的最大值为 M ，设 0,0  ba ，且 Mba  )1)(1( ，求 ba  的最小值.