黑龙江省宾县一中2019-2020学年高二上学期第二次月考数学（理）试卷 含答案 13页

数 学 试 卷（理） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的． 1．下列说法错误的是（ ） A．对于命题 ，则 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．若命题 为假命题，则 都是假命题 D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ” 2． 已知 A,B,C 三点不共线,对于平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C 一定共面的是( ) A． B． C． D． 3．已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 （ ） A． B． C． D． 4．设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ， 则 ( ) A．4 B． -4 C． -2 D．2 5．已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．虚轴长为 4 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 6.在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3,则点 P 到三角形 ABC 重心 G 的距离为(　　) A. 2 B. C. 1 D. 7．M 是椭圆上一动点，F1 和 F2 是左右焦点，由 F2 向 的外角平分线作垂线，垂足为 N，则 N 点轨 迹为( ) 01,: 2 >++∈∀ xxRxp 01,: 0 2 00 ≤++∈∃¬ xxRxp 1=x 0232 =+− xx qp ∧ qp, 0232 =+− xx 1=x 1≠x 0232 ≠+− xx OCOBOAOM ++= OCOBOAOM −−= 2 OCOBOAOM 3 1 2 1 ++= OCOBOAOM 6 1 3 1 2 1 ++= 21 2y x= 2 2 12 y x m + = m = 7 4 9 4 127 64 129 64 α )2,2,1(1 −=n β ),4,2(2 kn −−= βα // =k 194 22 =− xy 52 3 23 032 =± yx 2 14 3 21MFF∠ A.直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知四棱锥 中， 则点 到 底面 的距离为（ ） A．2 B． C．1 D． 9．双曲线 与椭圆 ( )的离心率互为倒数，那么以 为边长的 三角形一定是(　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 10．如图，正方体 中，点 分别为棱 的中点，则 和 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线 和直线 ,抛物线 上一动点 到直线 和直 线 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 12． 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支 分别交于 两点．若 为等边三角形，则 的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 16 P ABCD− ）（），（），，（ 8-,2,6-AP0,1,4-AD3,2-4AB === P ABCD 26 26 26 13 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 1x y m b + = 0,0 >>> bma mba ,, 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1,A A B B CM 1D N 1 9 − 1 9 1 8 − 1 8 0634:1 =+− yxl 1:2 −=xl xy 42 = P 1l 2l 5 11 16 37 1 2F F， 2 2 2 1( 0)4 x y bb − = > 1F l B A， 2ABF∆ 1 2BF F∆ 28 38 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上． 13．在空间中，已知平面 α 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面 α 与平面 xOy 的夹角为 45°，则 a＝________. 14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: ① ; ② ; ③ 的夹角为 60°; ④正方体的体积为 .其中正确命题的序号是 _____. 15．如图，若 为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点，若以 椭圆短轴为直径的圆与 相切于中点，则椭圆 的方程为 16．过双曲线 的左焦点 F 作圆 的切线，切点为 E， 延长 FE 交双曲线于点 P，O 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知命题 p：空间两向量 =（1，﹣1，m）与 =（1，2，m）的 夹角不大于 ；命题 q：双曲线 的离心率 e∈（1，2）．若￢q 与 p∧q 均为假命 题， 求实数 m 的取值范围． ( ) 22 1 3ABABADAA =++ ( ) 01111 =−⋅ AABACA BAAD 11与 || 1 ADAAAB ⋅⋅ P ( )01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC ( )0,52−F PF C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2x y a+ = )(2 1 OPOFOE += 2 π 15 22 =− m xy 18．（本小题满分 12 分）已知直线 L: y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A、B 两点（异于原点）， （1）若直线 L 过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度； （2）若 OA⊥OB ，求 m 的值； 19．（本小题满分 12 分）如图，平面 ABDE⊥平面 ABC，△ABC 是等腰直角三角形，AC＝BC＝ 4，四边形 ABDE 是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ 1 2AE＝2，O，M 分别为 CE，AB 的 中点． (1)求异面直角 AB 与 CE 所成角的大小； (2)求直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值． 20．（本小题满分 12 分）设直线 l：y=2x﹣1 与双曲线 （ ， ）相交于 A、 B 两个不同的点，且 （O 为原点）． （1）判断 是否为定值，并说明理由； （2）当双曲线离心率 时，求双曲线实轴长的取值范围． 21．（本小题满分 12 分）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形， ∠ABD＝ 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 0=⋅OBOA 22 11 ba − )3,2(∈e ∠CBD，AB＝BD． (1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求 二面角 D­AE­C 的余弦值． 22 ．（本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 是 椭 圆 与 抛 物 线 的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 ． （1）求椭圆 及抛物线 的方程； （2）设过 且互相垂直的两动直线 ， 与椭圆 交于 两点， 与抛物线 交 于 两点，求四边形 面积的最小值.       3 62,3 2P )0(1: 2 2 2 2 1 >>=+ ba b y a xC )0(2: 2 >= ppxyE F 1C E F 21,ll 1l 1C BA, 2l E DC, ACBD 数 学 试 卷（理）答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的． 1．下列说法错误的是（C ） A．对于命题 ，则 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．若命题 为假命题，则 都是假命题 D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ” 2． 已知 A,B,C 三点不共线,对于平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C 一定共面的是( D ) A． B． C． D． 3．已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 （ B ） A． B． C． D． 4．设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ， 则 ( A ) A．4 B． -4 C． -2 D．2 5．已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线说法正确的是（D ） A．虚轴长为 4 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 6.在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3,则点 P 到三角形 ABC 重心 G 的距离为(　D　) A. 2 B. C. 1 D. 7．M 是椭圆上一动点，F1 和 F2 是左右焦点，由 F2 向 的外角平分线作垂线，垂足为 N，则 N 点轨 迹为( B ) 01,: 2 >++∈∀ xxRxp 01,: 0 2 00 ≤++∈∃¬ xxRxp 1=x 0232 =+− xx qp ∧ qp, 0232 =+− xx 1=x 1≠x 0232 ≠+− xx OCOBOAOM ++= OCOBOAOM −−= 2 OCOBOAOM 3 1 2 1 ++= OCOBOAOM 6 1 3 1 2 1 ++= 21 2y x= 2 2 12 y x m + = m = 7 4 9 4 127 64 129 64 α )2,2,1(1 −=n β ),4,2(2 kn −−= βα // =k 194 22 =− xy 52 3 23 032 =± yx 2 14 3 21MFF∠ A.直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知四棱锥 中， ， ， ，则 点 到底面 的距离为（ A ） A．2 B． C．1 D． 9．双曲线 与椭圆 ( )的离心率互为倒数，那么以 为边长的 三角形一定是(　C　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 10．如图，正方体 中，点 分别为棱 的中点，则 和 所成角的余弦值为（ B ） A． B． C． D． 11．已知直线 和直线 ,抛物线 上一动点 到直线 和直 线 的距离之和的最小值是( A ) A.2 B.3 C. D. 12． 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支 分别交于 两点．若 为等边三角形，则 的面积为（C ） A. 8 B. C. D. 16 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上． 13．在空间中，已知平面 α 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面 α 与平面 xOy 的夹角为 45°，则 a＝________. a＝12 5 P ABCD− ( )4, 2,3AB = − ( )4,1,0AD = − ( )6,2, 8AP = − − P ABCD 26 26 26 13 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 1x y m b + = 0,0 >>> bma mba ,, 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1,A A B B CM 1D N 1 9 − 1 9 1 8 − 1 8 0634:1 =+− yxl 1:2 −=xl xy 42 = P 1l 2l 5 11 16 37 1 2F F， 2 2 2 1( 0)4 x y bb − = > 1F l B A， 2ABF∆ 1 2BF F∆ 28 38 14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: ①( )2=3 ; ② ·( )=0; ③ 的夹角为 60°; ④正方体的体积为| |.其中正确命题的序号是 _____.①② 15．如图，若 为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与 相切于中点，则椭圆 的 方程为 16．过双曲线 的左焦点 F 作圆 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线于点 P，O 为坐标原点，若 ，则双曲 线的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知命题 p：空间两向量 =（1，﹣1，m）与 =（1，2，m）的 夹角不大于 ；命题 q：双曲线 的离心率 e∈（1，2）．若￢q 与 p∧q 均为假命 题， 求实数 m 的取值范围． 17．解：若命题 p 为真，则有 0，即 ，解得 m≤﹣1 或 m≥1；若命题 q 为真，则有 1＜ ＜4，解得：0＜m＜15； ∵￢q 与 p∧q 均为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题． 则有 ，解得 0＜m＜1．故所求实数 m 的取值范围是（0,1）． 18．（本小题满分 12 分）已知直线 L: y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A、B 两点（异于原点）， （1）若直线 L 过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度； （2）若 OA⊥OB ，求 m 的值； 1AA AD AB+ +   2 AB 1AC 1 1 1A B A A−  1 1A AD B 与 1· ·ADAB AA   P ( )01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC ( )0,52−F PF C 11636 22 =+ yx 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2x y a+ = 1 ( )2OE OF OP= +   2 π 15 22 =− m xy 第(15)题 18. 答案： (1) m =－2 ,|AB| = 16 (2) m =－8 19．（本小题满分 12 分）如图，平面 ABDE⊥平面 ABC，△ABC 是等腰直角三角形，AC＝BC＝ 4，四边形 ABDE 是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ 1 2AE＝2，O，M 分别为 CE，AB 的 中点． (1)求异面直角 AB 与 CE 所成角的大小； (2)求直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值． 19．解： (1)∵DB⊥BA，平面 ABDE⊥平面 ABC，平面 ABDE∩平面 ABC＝AB，DB⊂平面 ABDE，∴DB⊥平面 ABC．∵BD∥AE，∴EA⊥平面 ABC． 如图所示，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB 所在直线为 x，y 轴，以过点 C 且与 EA 平 行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系． ∵ AC ＝ BC ＝ 4 ， ∴ C(0,0,0) ， A(4,0,0) ， B(0,4,0) ， E(4,0,4) ， ∴AB→ ＝ ( － 4,4,0) ，CE→ ＝ (4,0,4)． ∴cos〈AB→ ，CE→ 〉＝ －16 4 2 × 4 2 ＝－1 2，∴异面直线 AB 与 CE 所成角的大小为π 3. (2)由(1)知 O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，∴ CD→ ＝(0,4,2)， OD→ ＝(－2,4,0)， MD→ ＝(－ 2,2,2)． 设平面 ODM 的法向量为 n＝(x，y， z)， 则由Error!，可得Error!，令 x＝2，则 y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)． 设直线 CD 与平面 ODM 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈n，CD→ 〉|＝| n·CD→ |n||CD→ ||＝ 30 10 ， ∴直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值为 30 10 . 20．（本小题满分 12 分）设直线 l：y=2x﹣1 与双曲线 （ ， ）相交于 A、 B 两个不 同的点，且 （O 为原点）． （1）判断 是否为定值，并说明理由； （2）当双曲线离心率 时，求双曲线实轴长的取值范围． 20．解：（Ⅰ） 为定值 5．理由如下：y=2x﹣1 与双曲线 联立， 可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2） ＞0， 化为 1+b2﹣4a2＞0，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2= ，x1x2= ，由 （O 为原点），可得 x1x2+y1y2=0，即有 x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0， 即 5• ﹣2• +1=0，化为 5a2b2+a2﹣b2=0，即有 =5，为定值． （Ⅱ）由双曲线离心率 时，即为 ＜ ＜ ，即有 2a2＜c2＜3a2， 由 c2=a2+b2，可得 a2＜b2＜2a2，即 ＜ ＜ ，由 =5，可得 ＜ ﹣5＜ ， 化简可得 a＜ ，则双曲线实轴长的取值范围为（0， ）． 21．（本小题满分 12 分）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形， ∠ABD＝ 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 0=⋅OBOA 22 11 ba − )3,2(∈e ∠CBD，AB＝BD． (1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求 二面角 D­AE­C 的余弦值． 21．解：(1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而 AD＝CD．又△ACD 是直角三角形，所以∠ ADC＝90°. 取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DO⊥AC，DO＝AO. 又因为△ABC 是正三角形，故 BO⊥AC，所以∠DOB 为二面角 D­AC­B 的平面角． 在 Rt△AOB 中，BO2＋AO2＝AB2，又 AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠ DOB＝90°. 所以平面 ACD⊥平面 ABC． (2)由题设及(1)知，OA，OB，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，OA→ 的方向为 x 轴正方向， |OA→ |为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O­xyz， 则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)． 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的1 2，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的1 2，即 E 为 DB 的中点，得 E(0， 3 2 ，1 2)，故AD→ ＝(－1,0,1)， AC→ ＝(－ 2,0,0)，AE→ ＝(－1， 3 2 ，1 2). 设 n＝(x，y，z)是平面 DAE 的法向量， 则Error!即Error!可取 n＝(1， 3 3 ，1). 设 m 是平面 AEC 的法向量，则Error!同理可取 m＝(0，－1， 3)， 则 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m|＝ 7 7 .所以二面角 D­AE­C 的余弦值为 7 7 . 22 ．（本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 是 椭 圆 与 抛 物 线 的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 ． （1）求椭圆 及抛物线 的方程； （2）设过 且互相垂直的两动直线 ， 与椭圆 交于 两点， 与抛物线 交 于 两点，求四边形 面积的最小值 22．解：（Ⅰ） 抛物线 ： 一点, ，即抛物线 的方程为 ， 又 在椭圆 ： 上, ，结合 知 （负舍）， ， 椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 . （Ⅱ）由题可知直线 斜率存在，设直线 的方程 ， ①当 时， ，直线 的方程 ， ，故 ②当 时，直线 的方程为 ，由 得 . 由弦长公式知 .       3 62,3 2P )0(1: 2 2 2 2 1 >>=+ ba b y a xC )0(2: 2 >= ppxyE F 1C E F 21,ll 1l 1C BA, 2l E DC, ACBD 同理可得 . . 令 ，则 ， 当 时， ， 综上所述：四边形 面积的最小值为 8.