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- 2021-06-30 发布
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文科数学试题
一、 选择题（每题5分，共12题，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 命题：“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1 D． 若x≥1或x≤－1，则x2≥1
2. 已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，p，q中，真命题的个数是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3. 若实数x，y满足,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是 ( )
A． 2 B． 2 C． 4 D． 5
5. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．π B． 56π C． 14π D． 64π
6.经过点A(－1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
7. 两平行直线l1、l2分别过点P(1,3)、Q(2, 1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是( )
A． (0，＋∞) B． [0，] C． (0，] D． [0，]
8. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
①BC⊥平面PAB； ②AD⊥PC； ③AD⊥平面PBC； ④PB⊥平面ADC.
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
9. 已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A． B． C． D．
10. 若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则半径r的值为( )
A． 4 B． 5 C． 6 D． 9
11.已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.
A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ③④
12. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点(点P、Q可以重合)，则MP＋PQ的最小值为( )
A． B. C. D． 1
二、填空题（每题5分，共4题，满分20分）
13. 若对任意x>0，≤恒成立，则a的取值范围为________．
14. 将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A(0,2)与B(4,0)重合，若此时点C(0,4)恰与点D重合，则点D的坐标是________．
15.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．
16.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．
三、解答题（本题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝.
(1)证明：DE⊥平面A1AE；
(2)求点A到平面A1ED的距离．
18.（12分）根据条件求下列圆的方程：
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆方程．
19.（12分）设函数f(x)＝(x－a)|x|＋b.
(1)当a＝2，b＝3时，画出函数f(x)的图象，并求出函数y＝f(x)的零点；
(2)设b＝－2，且对任意x∈[－1,1]，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．
20. （12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求三棱锥D－ABC的体积．
21. （12分）已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点A(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
22.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
文科数学答案
选择题：DBBCC CCDCA CA
填空题
13. 14. 15. 20 16.
解答题：
17. 【答案】(1)证明 因为A1A⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD， 所以A1A⊥DE.
因为E为BC的中点，BE＝EC＝AB＝CD＝1， 所以AE＝DE＝.
又因为AD＝2，所以AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.
又AE⊂平面A1AE, A1A⊂平面A1AE，且AE∩A1A＝A，所以DE⊥平面A1AE………………………..5分
(2)解 设点A到平面A1ED的距离为d，
＝××××＝.
因为A1A⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE， 又AA1＝AE＝，所以A1E＝2.
由(1)知DE⊥平面A1AE，所以DE⊥A1E，
∴＝×2×＝， ∴＝×d＝， ∴d＝1…………………………………10分
18.【答案】(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0.
∴由 解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65…………………6分
(2) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝＝＝4， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.
∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝， ∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2，
又∵b＝2a，∴或
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10……………………12分
19．【答案】(1)当a＝2，b＝3时，函数f(x)＝(x－2)|x|＋3的解析式可化为：
f(x)＝......................................................................................................................2分
故函数的图象如图所示：
...........................................................................................4分
由图象知函数的零点为x＝－1………………………………………………..6分
(2)当b＝－2时，由f(x)<0，得(x－a)|x|<2.
当x＝0时，a取任意实数不等式恒成立；
当0x－，令g(x)＝x－，则g(x)在(0,1]上单调递增，∴a>g(x)max＝g(1)＝－1；
当－1≤x<0时，a>x＋，令h(x)＝x＋，则易证h(x)＝x＋在[－1,0)上单调递减，
∴a>h(x)max＝h(－1)＝－1＋＝－3，
综上，a>－1……………………………………………………………………….12分
20. 【答案】(1)证明 在图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC，取AC的中点O，连接DO，
则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，
从而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC,
又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD………………………………………….6分
(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，
BC＝2，S△ACD＝2，
∴V三棱锥B－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，
由等体积性可知，三棱锥D－ABC的体积为……………………………………….12分
21.【答案】(1)由题意坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5，
得＝5⇒＝5，化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0.
即(x－1)2＋(y－1)2＝25，
∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，……………………………………5分
所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．………………………………….6分
(2)当直线l的斜率不存在时，过点A(－2,3)的直线l：x＝－2，
此时过点A(－2,3)的直线l被圆所截得的线段的长为
2＝8，
∴l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0…………………………………….12分
22. 【答案】(1)证明 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD……………………………………………………………………….4分
(2)证明 因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，
PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB……………………………………………………..8分
(3)解 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD…………………………9分
在△PBC中，FE∥PB，EF⊄平面PBG，PB⊂平面PBG，
所以EF∥平面PBG.
在菱形ABCD中，GB∥DE，DE⊄平面PBG，GB⊂平面PBG，
所以DE∥平面PBG.
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD……………………………………………………………12分
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