2018-2019学年浙江省杭州学军中学高二上学期末考试 数学 8页

杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试 高二数学试卷 参考公式：球的体积公式:V= 3 4 πR3 其中 R 表示球的半径 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.圆 2 2( 1) 3x y   的圆心坐标和半径分别是 （ ） A. ( 1,0),3 B. (1,0),3 C. ( 1,0), 3 D. (1,0), 3 2.在空间中，设α，表示平面，m，n 表示直线.则下列命题正确的是 （ ） A.若 m∥n，n⊥α，则 m⊥α B. 若α⊥，mα，则 m⊥ C.若 m 上有无数个点不在α内，则 m∥α D.若 m∥α，那么 m 与α内的任何直线平行 3.已知 ba, 为实数，则“ a ＞b ”是“ a 1 ＜ b 1 ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为( ) A．6 B．3 2 C．12 D．6 2 5.曲线 C： yyx 22  与直线 0:  myxl 有两个交点，则实数 m 的取值范围（ ） 22.221.212.2112.  mDmCmBmA 6.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为 6 的正三角形、侧棱长均为 5， 其正视图，俯视图如图所示，则其侧视图 （ ） A.形状是等腰三角形，面积为 133 B.形状是等腰三角形，面积为 2 393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为 2 393 7.已知直二面角α－l－β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l， D 为垂足，若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) A. 3 2 B． 3 3 C． 3 6 D．1 8．已知直线 )(2sincos: Ryxl   ，圆 0sin2cos2: 22  yxyxC  )( R ，则直线 l 与圆 C 的位置关系一定不是 （ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定[ (第 4 题) (第 6 题) 9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点， 点 P 是△A1C1D 内的动点（不包括边界），记直线 D1P 与 MN 所成角为θ， 若θ的最小值为 3  ，则点 P 的轨迹是 （ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 10.已知在△ABC 中， 2 ACB ，AB=2BC，现将△ABC 绕 BC 所在 直线旋转到△PBC，设二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，PB 与平面 ABC 所成角为α， PC 与平面 PAB 所成角为β，若 0＜θ＜π，则 （ ） )3 3,0(sin],3,0(.  A ]3 3,0(sin],3,0(.  B )2 1,0(sin],3,0(.  C 1. (0, ],sin (0, )6 2D    二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11.双曲线x2 4 －y2 3 ＝1 的渐近线方程是 ；实轴长为___________. 12.已知直线 l：mx＋y－2m－1＝0，圆 C：x2＋y2－2x－4y＝0，直线恒过定点 ; 当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时，实数 m＝ ． 13.已知抛物线 y2＝mx 的焦点坐标 F 为(2,0)，则 m 的值为 ; 若点 P 在抛物线上，点 A(5,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为 . 14．如图，在三棱锥S—ABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC= 3 M、N 分别为棱 SC、BC 的中点，并且 AM  MN，则异面直线 MN 与 AC 所成角为_____; 三棱锥 S—ABC 的外接球的体积为 . 15.已知两圆 02: 22 1  xyxC ， 4)1(: 22 2  yxC 的圆心分别为 21,CC ，P 为一个动 点，且 22|||| 21  PCPC ，则动点 P 的轨迹方程为_______________. 16.设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的顶点为 1 2,A A ，P 为双曲线上一点，直线 1PA 交 双曲线 C 的一条渐近线于 M 点，直线 2A M 和 2A P 的斜率分别为 1 2,k k ，若 2 1A M PA 且 1 24 0k k  ，则双曲线C 离心率 17．已知点 P 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 表面上一动点，且满足 | | 2 | |PA PB ，设 1PD 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 的最大值是 (第 14 题) (第 9 题) 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(本题满分 14 分) 已知直线 l 经过直线 0430243  yxyx 与 的交点 P ,且垂直 于直线 .012  yx （1）求直线l 的方程； （2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 19.（本题满分 15 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ，四边形 ABCD 是 矩形， E ， F 分别是 AB ， PD 的中点．若 3PA AD  ， 6CD  。 （1）求证： //AF 平面 PCE ； （2）求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值。 20．(本题满分 15 分) 如图，由半圆 2 2 1( 0)x y y   和部分抛物线 2( 1)y a x  （ 0y  ， 0a  ）合成的曲线 C 称为“羽毛球形线”，且曲线 C 经过点 (2,3) . （1）求 a 的值； （2）设 (1,0)A , ( 1,0)B  ，过 A 且斜率为 k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于 P , A ,Q 三 点，问是否存在实数 k ，使得 QBA PBA   ？ 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． y xO AB P Q (第 20 题) (第 19 题) 21．（本题满分 15 分）如图,在等腰三角形 ABC 中, , 120AB AC A    ，M 为线段 BC 的中点， D 为线段 BC 上一点,且 BD BA ,沿直线 AD 将 ADC 翻折至 'ADC ,使 'AC BD . (I)证明;平面 'AMC ⊥平面 ABD ; (Ⅱ)求二面角 BADC ' 的平面角的余弦值. 22．（本题满分 15 分）设椭圆 2 2 2 2 1x x a b   (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的 离心率为 5 3 ，点 A 的坐标为 ( ,0)b ，且 6 2FB AB  . （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l： ( 0)y kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin4 AQ AOQPQ   (O 为原点) ，求 k 的值. (第 21 题) 杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. D 2. A 3. D 4. C 5.B 6. D 7. C 8. A 9. B 10.C 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11. xy 2 3 ；4. 12. ），（ 12 ,-1 13. 8, 7 14. 2 9,90 o 15. 12 2 2  yx 16. 2 5 17. 4  三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(本题满分 14 分) 解：(1)由 得 ． 因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为-2， 所以直线 的方程为： 即 (2)在直线 中，令 令 .所以直线 与两坐 标轴围成的三角形的面积 S= 19.（本题满分 15 分） 解：（1）取 PC 的中点 G，连结 EG，FG，又由 F 为 PD 中点， 则 F G // CD2 1 . 又由已知有 .//,2 1// AEFGCDAE  ∴四边形 AEGF 是平行四边形. .// EGAF 又 AF 平面 PEC, EG .PCE平面 PCEAF 平面// （2） ,ABCDPA 平面 = = 14 21 ,// . , . ,,3 . . . AFEG PCDAF DCDPD PDAF PDFADPA CDAF PADCD ADCDABCD ABCDPAD 由 平面 的中点是又 平面 是矩形有由 平面平面          . , , , EG PCD PCD F FH PC H PCD PCE PC      平面 平面 内 过 作 于 由于平面 平面 故 .所成的角与平面为直线 PCEFCFCH 33 2, 2, 2 6.2 1 3, 30 . 2.2 4 P D PF PC CD PAD CPD FH PF          由已知可得 由于 平面 2 2 42 .2 21sin 14 FC CD FD FHFCH FC        直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值 为. 20．（本题满分 15 分）解：（1）把点 (2,3) 代入 2( 1)y a x  得 23 (2 1)a   ，所以 1a  ． （2）方法一:由题意得 PQ 方程为 ( 1)y k x  ， 代入 2 1y x  得 2 1 0x kx k    ， 所以 1x  或 1x k  ， 所以点 Q 的坐标为 2( 1, 2 )k k k  ． 又代入 2 2 1x y  得 2 2 2 2(1 ) 2 1 0k x k x k     ， 所以 1x  或 2 2 1 1 kx k   ， 所以点 P 的坐标为 2 2 2 1 2( , )1 1 k k k k     ． 因为 QBA PBA   ， 所以 BP BQk k  ，即 22 2 2 2 21 1 11 k k kk k k k      ，即 2 2 1 0k k   ， 解得 1 2k   ．又由题意 2 2 1 11 k k   ， 1 1k   即 2k  ，而1 2 2  ， 因此存在实数 1 2k   ，使 QBA PBA   ． （2）方法二:由题意可知 QBA PBA   ， =90APB  ， 则 90 BAPQBA ， 故 1 QAQB kk ． 由题意可设 2 0 0( , 1)Q x x  ，其中 0 0x  ， 则 11 1 0 0 2 0   xx xkQB ， 11 1 0 0 2 0   xx xkQA ， 所以 112 0  xkk QAQB ，所以 0 2x  或 0 2x   (舍去) ． 故 12  QAkk ， 因此存在实数 1 2k   ，使得 QBA PBA   ． 21．（本小题 15 分） 22．（本题满分 15 分）（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知 2 2 5 9 c a  ，又由 a2=b2+c2，可 得 2a=3b．由已知可得， FB a ， 2AB b ，由 6 2FB AB  ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2．所以，椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  ． （Ⅱ）解：设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有 y1>y2>0，故 1 2sinPQ AOQ y y   ． 又 因 为 2 sin yAQ OAB   ， 而 ∠ OAB= π 4 ， 故 22AQ y ． 由 5 2 sin4 AQ AOQPQ   ，可得 5y1=9y2． 由方程组 2 2 19 4 y kx x y    ， ，消去 x，可得 1 2 6 9 4 ky k   ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0， 由方程组 2 0 y kx x y      ， ，消去 x，可得 2 2 1 ky k   ．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= 23 9 4k  ， 两边平方，整理得 256 50 11 0k k   ，解得 1 2k  ，或 11 28k  ． 所以，k 的值为 1 11 2 28 或 ．