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- 2021-06-30 发布
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【高考地位】
随着向量在 学研究中的工具性应用,与它在社会生产生活中所起的巨大作用,所以近年来数学高考题中,命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中,共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现,其试题难度属低中档题.
【方法点评】
类型一 在几何问题中的应用
使用情景:平面几何证明、求值等问题中的应用
解题模板:第一步 将已知条件进行向量处理;
第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解;
第三步 得出结论.
例1、平面内有一个和一点,线段的中点分别为的中点分别为,设.
(1)试用表示向量;
(2)证明线段交于一点且互相平分.
【答案】(1),,;(2)证明见解析.]
第一步,将已知条件进行向量处理;
第二步,利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解;学
第三步,得出结论.
【变式演练1】【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试文 数学试题】
平行四边形中, ,则 .
【答案】1
【解析】在平行四边形中, ,
且,
则,
所以;故填1.
【变式演练2】如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内(含边界)的动点,设,则的最大值等于( )
A. B.1 C. D.
【答案】D
【高考再现】
1.【2017北京理,6】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
2. 【2017全国Ⅲ卷理,12】在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆
上.若,则的最大值为()
A.3 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意,画出右图.
设与切于点,连接.
以为原点,为轴正半轴,
为轴正半轴建立直角坐标系,
则点坐标为.
∵,.学
∴.
∵切于点.
∴⊥.
∴是中斜边上的高.
即的半径为.
而,,.
∵
∴,.
两式相加得:
(其中,)学
当且仅当,时,取得最大值3.
3.【2015高考新课标1,理7】设为所在平面内一点,则( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
基础题,解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量表示为,再用已知条件和向量减法将用表示出来.
4.【2017山东文,11】已知向量a=(2,6),b= ,若a b,则 .
【答案】
5. 【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,
且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .
A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
【解析】由可得,,根据向量的分解,学
易得,即,即,即得,
所以.
6.【2015高考北京,理13】在中,点,满足,.若,
则 ; .
【答案】
【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算,利用向量相等解题. 学 ]
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,利用向量相等条件求值,本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系,准确写出相关点的坐标、向量的坐标,利用向量相等,列方程组,解出未知数的值.
7.【2015高考新课标2,理13】设向量,不平行,向量与平行,则实数 .
【答案】
【解析】因为向量与平行,所以,则所以. 学 ]
【考点定位】向量共线.
【名师点睛】本题考查向量共线,明确平面向量共线定理,利用待定系数法得参数的关系是解题关键,属于基础题.学
8.【2015江苏高考,6】已知向量a=,b=, 若ma+nb=(), 则的值为 .
【答案】
【解析】由题意得:
【考点定位】向量相等
【名师点晴】明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示:若,则⇔
.向量垂直的充要条件的坐标表示:若,则⇔.
9.【2017江苏,16】 已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.
【解析】解:(1)因为,,a∥b,
(2).
因为,所以,
从而.
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值.
【考点】向量共线,数量积
【反馈练习】
1.【北京市顺义区2018届高三第二次统练(二模)数学理试题】已知是正△的中心.若,其中, ,则的值为
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由题是正△的中心,延长交与 则
即 故选C.
2.【东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题】已知向量, ,若,则( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,
又因为,所以,选C.
3.【吉林省长春五校2018届高三1月联合模拟考数学(文)试题】已知向量, , ,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.【安徽省宣城市三校联考数学试题】已知向量 , .若共线,则的值是()
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】∵, ,且共线,
∴,解得.选B.学
5.【江西省抚州市临川区第一中学2018学年数学(理)试题】已知数列为等差数列,且满足,若(),点为直线外一点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
6.【福建省四校2018届高三上学期第二次联考数学(文)试题】已知向量, ,且与共线,则的值为 .
【答案】2
【解析】由=(1, ),=(﹣2,λ),且与共线,
得,∴.
则+=(1, )+(﹣2,﹣2)=(﹣1,﹣),
∴|+|=.
故答案为:2.
7.【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题】已知向量, , ,满足,则, 夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】由∥,得,解得,则, ,
所以.
8.【江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学(文)试题】设,向量, , ,且, ,则 .
【答案】
【解析】
9.【四川省2018届高三“联测促改”活动数学(文 )试题】在平面向量中有如下定理:设点、、、为同一平面内的点,则、、三点共线的充要条件是:存在实数,使.试利用该定理解答下列问题:如图,在中,点为边的中点,点在边上,且, 交于点,设,则 .
【答案】
【解析】∵三点共线,
∴存在实数,使得,
又,
∴, ]
又三点共线,学
∴,解得.
∴
∴, .
答案:
10.【2018年高考数学练酷专题】已知点在椭圆上,点满足()(是坐标原点),且,则线段在轴上的设影长度的最大值为 .
【答案】15
答案:15
11.【河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)理 数学试题】
已知双曲线: 的右焦点为,过点向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为
,交另一条渐近线于,若,则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
答案: .
点睛:
(1)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程就是双曲线的两条渐近线方程.学
(2)求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系,并根据焦点的位置确定出渐近线的形式,并进一步得到其方程.
12.【2018届上海市徐汇区高三下学期二模数学试卷】如图,在中, 为上不同于, 的任意一点,点满足.若,则的最小值为 . ]
【答案】
13.【山西省太原市2018届高三模拟考试(一)数学理试题】已知
,若,则实数 .
【答案】-1
【解析】由已知求出 ,
所以有 ,所以 .
14.【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟数学(理)试题】
在平面直角坐标系中,已知向量, ,
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若与的夹角为,求的值.
【答案】(1)1,(2)
【解析】试题分析:(1)由可得,从而求得的值;
(2)依题知,即,从而得到的值.
试题解析:
(1)因为,所以,所以.学 .
所以tanx=1