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  • 2021-06-30 发布

2019届二轮复习平面向量共线定理-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板学案(全国通用)

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‎【高考地位】‎ 随着向量在 学研究中的工具性应用,与它在社会生产生活中所起的巨大作用,所以近年来数学高考题中,命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中,共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现,其试题难度属低中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 在几何问题中的应用 使用情景:平面几何证明、求值等问题中的应用 解题模板:第一步 将已知条件进行向量处理;‎ 第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解;‎ 第三步 得出结论.‎ 例1、平面内有一个和一点,线段的中点分别为的中点分别为,设.‎ ‎(1)试用表示向量;‎ ‎(2)证明线段交于一点且互相平分.‎ ‎【答案】(1),,;(2)证明见解析.]‎ ‎ ‎ 第一步,将已知条件进行向量处理;‎ 第二步,利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解;学 ‎ 第三步,得出结论.‎ ‎ ‎ ‎【变式演练1】【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试文 数学试题】‎ 平行四边形中, ,则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】在平行四边形中, ,‎ 且,‎ 则,‎ 所以;故填1.‎ ‎【变式演练2】如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内(含边界)的动点,设,则的最大值等于( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017北京理,6】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 2. ‎【2017全国Ⅲ卷理,12】在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆 上.若,则的最大值为()‎ A.3 B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,画出右图.‎ 设与切于点,连接.‎ 以为原点,为轴正半轴,‎ 为轴正半轴建立直角坐标系,‎ 则点坐标为.‎ ‎∵,.学 ‎ ‎∴.‎ ‎∵切于点.‎ ‎∴⊥.‎ ‎∴是中斜边上的高.‎ 即的半径为.‎ 而,,.‎ ‎∵‎ ‎∴,.‎ 两式相加得:‎ ‎ (其中,)学 ‎ 当且仅当,时,取得最大值3.‎ ‎3.【2015高考新课标1,理7】设为所在平面内一点,则( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】A 基础题,解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量表示为,再用已知条件和向量减法将用表示出来.‎ ‎4.【2017山东文,11】已知向量a=(2,6),b= ,若a b,则 .‎ ‎【答案】‎ 5. ‎【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,‎ 且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ ‎ ‎ A ‎ C ‎ B O ‎(第12题) ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】由可得,,根据向量的分解,学 ‎ 易得,即,即,即得,‎ 所以.‎ ‎6.【2015高考北京,理13】在中,点,满足,.若,‎ 则 ; .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算,利用向量相等解题. 学 ]‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,利用向量相等条件求值,本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系,准确写出相关点的坐标、向量的坐标,利用向量相等,列方程组,解出未知数的值.‎ ‎7.【2015高考新课标2,理13】设向量,不平行,向量与平行,则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为向量与平行,所以,则所以. 学 ]‎ ‎【考点定位】向量共线.‎ ‎【名师点睛】本题考查向量共线,明确平面向量共线定理,利用待定系数法得参数的关系是解题关键,属于基础题.学 ‎ ‎8.【2015江苏高考,6】已知向量a=,b=, 若ma+nb=(), 则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得:‎ ‎【考点定位】向量相等 ‎【名师点晴】明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示:若,则⇔‎ ‎.向量垂直的充要条件的坐标表示:若,则⇔.‎ ‎9.【2017江苏,16】 已知向量 ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.‎ ‎【解析】解:(1)因为,,a∥b,‎ ‎(2).‎ 因为,所以,‎ 从而.‎ 于是,当,即时,取到最大值3;‎ 当,即时,取到最小值.‎ ‎【考点】向量共线,数量积 ‎【反馈练习】‎ ‎1.【北京市顺义区2018届高三第二次统练(二模)数学理试题】已知是正△的中心.若,其中, ,则的值为 A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题是正△的中心,延长交与 则 ‎ ‎ 即 故选C.‎ ‎2.【东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题】已知向量, ,若,则( )‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,‎ 又因为,所以,选C.‎ ‎3.【吉林省长春五校2018届高三1月联合模拟考数学(文)试题】已知向量, , ,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4.【安徽省宣城市三校联考数学试题】已知向量 , .若共线,则的值是()‎ A. -1 B. -2 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵, ,且共线,‎ ‎∴,解得.选B.学 ‎ ‎5.【江西省抚州市临川区第一中学2018学年数学(理)试题】已知数列为等差数列,且满足,若(),点为直线外一点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6.【福建省四校2018届高三上学期第二次联考数学(文)试题】已知向量, ,且与共线,则的值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由=(1, ),=(﹣2,λ),且与共线,‎ 得,∴.‎ 则+=(1, )+(﹣2,﹣2)=(﹣1,﹣),‎ ‎∴|+|=.‎ 故答案为:2.‎ ‎7.【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题】已知向量, , ,满足,则, 夹角的余弦值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由∥,得,解得,则, ,‎ 所以.‎ ‎8.【江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学(文)试题】设,向量, , ,且, ,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎9.【四川省2018届高三“联测促改”活动数学(文 )试题】在平面向量中有如下定理:设点、、、为同一平面内的点,则、、三点共线的充要条件是:存在实数,使.试利用该定理解答下列问题:如图,在中,点为边的中点,点在边上,且, 交于点,设,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三点共线,‎ ‎∴存在实数,使得,‎ 又,‎ ‎∴, ]‎ 又三点共线,学 ‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴‎ ‎∴, .‎ 答案: ‎ ‎10.【2018年高考数学练酷专题】已知点在椭圆上,点满足()(是坐标原点),且,则线段在轴上的设影长度的最大值为 .‎ ‎【答案】15‎ 答案:15‎ ‎11.【河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)理 数学试题】‎ 已知双曲线: 的右焦点为,过点向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为 ‎,交另一条渐近线于,若,则双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ 答案: .‎ 点睛:‎ ‎(1)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程就是双曲线的两条渐近线方程.学 ‎ ‎(2)求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系,并根据焦点的位置确定出渐近线的形式,并进一步得到其方程.‎ ‎12.【2018届上海市徐汇区高三下学期二模数学试卷】如图,在中, 为上不同于, 的任意一点,点满足.若,则的最小值为 . ]‎ ‎【答案】‎ ‎13.【山西省太原市2018届高三模拟考试(一)数学理试题】已知 ‎,若,则实数 .‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由已知求出 ,‎ 所以有 ,所以 .‎ ‎14.【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟数学(理)试题】‎ 在平面直角坐标系中,已知向量, , ‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若与的夹角为,求的值.‎ ‎【答案】(1)1,(2) ‎ ‎【解析】试题分析:(1)由可得,从而求得的值;‎ ‎(2)依题知,即,从而得到的值.‎ 试题解析:‎ ‎(1)因为,所以,所以.学 . ‎ 所以tanx=1‎ ‎ ‎