2020届二轮复习三角函数的最值与综合应用教案（全国通用） 9页

‎2020届二轮复习 三角函数的最值与综合应用_ 教案（全国通用）‎ 类型一：三角函数的最值 例1．求函数的最大值.‎ ‎【解析】原式 ‎ ，‎ 故所求函数最大值为.‎ ‎【总结升华】运用三角函数公式化简成，通过二倍角降次，整理成 型，再利用有界性处理.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵， ∴ .‎ 由正弦函数图象可知：‎ 当即时，；当即时，.‎ 所以函数值域为.‎ ‎【变式2】函数在区间上的最大值是（ ）‎ A．1 B． C． D．1+‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】。‎ 又，∴，‎ ‎∴. 故选C.‎ ‎【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例4】‎ ‎【变式3】已知函数。‎ ‎（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。‎ ‎【答案】；‎ 例2．求下列函数的值域.‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【解析】(1) 由去分母得：, ‎ 移项整理，‎ 由辅助角公式得：（）‎ ‎∴,‎ ‎∵, ∴, 即.‎ 平方整理得:, 解出：，‎ 所以函数值域为.‎ ‎（2）由得 ‎ ∴‎ ‎ 令，则 ‎ ∴, ‎ 当时，， 当时，.‎ 所以函数值域为.‎ ‎【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求下列函数的值域：‎ ‎（1）； （22）； （3）.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）‎ ‎∴当时，有最大值；‎ 当时，有最小值－４.‎ ‎∴值域为 ‎（2）∵,∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴值域为.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴值域为.‎ ‎【变式2】对于函数，下列结论正确的是（ ）‎ A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】法一：，，得，是一个减函数，则只有最小值而无最大值.‎ 法二：可通过，得出，由也可求出．故选B.‎ ‎【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例5】‎ ‎【变式3】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 类型二：的图象和性质的综合应用 例3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由对恒成立，可知的最大值为，从而有，即，即，，即，.‎ 又，得，‎ 故可取，即，由，，‎ 得，，故选C.‎ ‎【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.本例先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形的方法来求解.本例的关键之处就是确定的值.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数，若，则x的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得：‎ ‎， ，‎ 化简得：. 故选B.‎ ‎【变式2】已知，且在区间 有最小值，无最大值，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知直线为函数的一条对称轴，且，‎ ‎∴. ①‎ 又，∴. ②‎ 由①②得 k=1，∴.‎ 例4.已知函数，‎ ‎(1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合；‎ ‎(2)写出函数在上的单调递增区间。‎ ‎【解析】‎ ‎ ，‎ ‎（1）当即（）时，的最小值为-2，‎ ‎ 故当时，.‎ ‎（2）该函数是和的复合函数，‎ ‎∵为增函数，要求的递增区间，只须求的递增区间 ‎∵的递增区间为：()‎ ‎∴由得：()‎ ‎∵，∴时，时，‎ 故该函数的单增区间是或.‎ ‎【总结升华】‎ ‎1.把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题的常用方法. ‎ ‎2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间 ‎（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界。‎ ‎（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知函数．求函数在区间上的最小值和最大值．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，‎ ‎∵当，∴，‎ ‎∴当，即时；‎ 当，即时.‎ ‎∴, ‎ 当时，， 当时，.‎ 所以函数值域为.‎ ‎【变式2】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。‎ ‎【答案】令，，‎ 则，‎ 开口向上，对称轴，‎ 当，即时，函数在上递增，； ‎ 当，即时，函数在上递减，，得与矛盾；‎ 当，即时，，解得或（舍），‎ ‎∴，此时.‎ ‎【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例6】‎ ‎【变式3】设，满足，‎ 求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】.‎ 类型三：三角函数在实际生活中的应用 例5．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，‎ 海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于 点C的正北方向km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，‎ 且与点A相距‎4.5 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立 一个核辐射监测站。‎ ‎（1）设CP=x，∠APB=，试将tan表示成x的函数；‎ ‎（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连结AC，据题意，AC⊥CP。‎ 过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E。‎ 由题设AB=4.5，，∠BAE=30°，‎ 所以，，‎ ‎.‎ 当时，点P在点D的右侧，，则。‎ 当时，点P在点D的左侧，，‎ 则。‎ 又，则当x＞0，且时，‎ 有。‎ 当时，点P与点D重合，，满足上式，‎ 所以。‎ ‎（2）令x+4=t，‎ 则 ‎ 。‎ 因为，所以，当且仅当，即t=10，‎ 也即x=6时取等号，此时取最大值。因为为锐角，所以当x=6时取最大值。‎ 故点P应选址在点C正东方向‎6 km处.‎ ‎【总结升华】解决与最值有关的应用题的步骤是：（1）建立目标函数；（2）求最值.其中关键是建立目标函数.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成。该八边形的面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等腰三角形的面积为，等腰三角形的底边长为 ‎，所以八边形面积为 ‎，故选A.‎ ‎【变式2】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)‎ 的轨迹方程是，则的最小正周期为________；在 其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________．‎ 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．‎ ‎【答案】4；π+1‎ ‎【解析】当正方形PABC四边都滚动时P才回到左下角的位置，所以最小正周期是4，在其两个相邻零点间的图象如图。‎ 面积是3个扇形和两个直角三角形，‎ ‎。‎