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- 2021-06-30 发布
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第1讲 等差数列、等比数列
[做小题——激活思维]
1.在数列{an}中,an+1-an=2,a2=5,则{an}的前4项和为( )
A.9 B.22
C.24 D.32
C [依题意得,数列{an}是公差为2的等差数列,a1=a2-2=3,因此数列{an}的前4项和等于4×3+×2=24,选C.]
2.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
A [设等差数列{an}的公差为d,∵
∴解得∴an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故选A.]
3.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
A.14 B.21
C.28 D.35
C [∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.]
4.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于________.
[由3an+1+an=0,a2=-得{an}成首项为1,公比q=-的等比数列,∴S10==.]
5.在等比数列{an}中,an+1<an,a2a8=6,a4+a6=5,则等于________.
[因为a2a8=a4a6=6 ①,又a4+a6=5 ②,联立①②,解得或(舍),所以=.]
[扣要点——查缺补漏]
1.判断等差(比)数列的常用方法
(1)定义法:若an+1-an=d,d为常数,则{an}为等差(比)数列,如T1,T4.
(2)中项公式法.
(3)通项公式法.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;
(2)Sn==na1+d.如T2.
3.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)an=a1qn-1=am·qn-m(q≠0);
(2)Sn=如T4.
4.等差数列与等比数列的性质
(1)在等差数列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.如T3.
(2)若{an}是等差数列,则也是等差数列.
(3)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列.
(4)在等比数列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.如T5.
(5)在等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
等差(比)数列的基本运算(5年9考)
[高考解读] 高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目标,对等差(比)数列的五个基本量的计算进行考查,体现方程思想和转化与化归思想的应用.预测2020年命题风格不变.
1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10
C.10 D.12
B [设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,∵a1=2,∴d=-3,
∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选B.]
2.[一题多解](2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=,a=a6,则S5=________.
[法一:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.
法二:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以a2a6=a6,所以a2
=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
[解](1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
[教师备选题]
1.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
B [∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21.
∴1+q2+q4=7.解得q2=2或q2=-3(舍去).
∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.]
2.(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C [∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,
∴am=Sm-Sm-1=2.
∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,
∴d=am+1-am=1.
又Sm===0,
∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5.]
等差(比)数列基本运算的解题途径
(1)设基本量:首项a1和公差d(公比q).
(2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体代换,以减少运算量.
提醒:抓住项与项之间的关系及项的“下角标”之间的关系巧用性质解题,可达到事半功倍的效果.
1.(数列与数学文化)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )
A.174斤 B.184斤
C.191斤 D.201斤
B [用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+×17=996,解得a1=65.
∴a8=65+7×17=184.选B.]
2.(基本量的运算)设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若a3=2,S4=5S2,则q=________.
-1或±2 [由a3=2知,若q=1,则S4=8,而5S2=20,不合题意,所以q≠1.
若q=-1,则a3=a1q2=a1=2,an=2·(-1)n-1,此时,S2=S4=0,满足S4=5S2.
当q≠±1时,由a3=2,S4=5S2,得a1·=5a1·,解得q=2或-2,满足题意.
综上,q的值为-1或±2.]
3.(等差、等比数列的交汇问题)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8=3,则a5的值为________.
-6 [设等比数列{an}的公比为q.
∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6,且q≠1.
∴=+,
即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).
∵a8=3,∴a5===-6.]
等差(比)数列的性质及应用(5年3考)
[高考解读] 高考对该点的考查体现了在知识交汇处命题的思想,即把数列的通项an和前n项和Sn都看作关于“n”的函数,要学会用函数的思想解决此类问题.预测2020年会加大与函数的交汇.
1.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
64 [设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8.
故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n·
=23n=2.
记t=-+=-(n2-7n),
结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.
又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.]
2.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
[解](1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
[教师备选题]
1.(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
-49 [设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由
等差数列前n项和可得解得
∴nSn=n2a1+d=-3n2+(n3-n2)=n3-,∴(nSn)′=n2-,
令(nSn)′=0,解得n=0(舍去)或n=.
当n>时,nSn是单调递增的;当0<n<时,nSn是单调递减的,故当n=7时,nSn取最小值,
∴(nSn)min=×73-=-49.]
2.(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
[解](1)∵{an}是等差数列,设公差为d,又a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),
∴(-2+2d)2=d(-4+3d),解得d=2,
∴an=a1+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12.
(2)法一:由a1=-10,d=2,得:
Sn=-10n+×2=n2-11n=-,∴n=5或n=6时,Sn取最小值-30.
法二:由(1)知,an=2n-12.
所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.
所以,Sn的最小值为S5=S6=-30.
与数列性质有关问题的求解策略
(1)数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
1.(下角标性质的应用)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a1+a6=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
B [由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}是等差数列,
∴a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,
∴a3=3,a4=4.
所以a1+a6=a3+a4=4+3=7.故选B.]
2.(和的性质的应用)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( )
A.40 B.60
C.32 D.50
B [由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,
即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,
因此S12=4+8+16+32=60,选B.]
3.(奇数项与偶数项的性质)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,
Tn,若对于任意的自然数n,都有=,则+=( )
A. B.
C. D.
A [+=+======,故选A.]
等差(比)数列的判断与证明(5年2考)
[高考解读] 高考对该点的考查以解答题第(1)问为主,立足双基,主要考查等差(比)数列的证明,其中定义法及等差(比)中项法是解决此类问题的常用方法.预测2020年会加大对数列证明的考查.
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
[解](1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.
2.(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
[解](1)证明:由题设知,anan+1=λSn-1,
an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;
数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2,
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
[教师备选题]
(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
[证明](1)由an+1=3an+1得
an+1+=3.
又a1+=,
所以是首项为,公比为3的等比数列.
an+=,因此{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤.
于是++…+≤1++…+
=<.所以++…+<.
[点评] 重视数列中的证明不等式,特别是不能直接求和时,需先放缩后求和的,放缩通项后转化为公式法求和,裂项求和.,常用放缩:
.
1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为同一常数;
(2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义,证明(n∈N*)为同一常数;
(2)利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2,an≠0).
1.(数列与不等式的交汇)数列{an}满足an+1=,a1=1.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列的前n项和Sn,并证明:++…+>.
[解](1)证明:(用转化法证明)∵an+1=,
∴=,化简得=2+,
即-=2,
故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知=2n-1,
所以Sn==n2.
证明:++…+=++…+>++…+
=++…+=1-=.
2.[重视题](数列与概率的交汇)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败集中营)时游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.
(1)求P3的值;
(2)证明:Pn+1-Pn=-(Pn-Pn-1)(2≤n≤99);
(3)求P99、P100的值.
[解](1)棋子跳到第3站有以下三种途径:连续三次掷出正面,其概率为;
第一次掷出反面,第二次掷出正面,其概率为;
第一次掷出正面,第二次掷出反面,其概率为,因此P3=.
(2)(用构造法证明)易知棋子先跳到第n-2站,再掷出反面,其概率为Pn-2;
棋子先跳到第n-1站,再掷出正面,其概率为Pn-1,因此有Pn=(Pn-1+Pn-2),
即Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),
也即Pn+1-Pn=-(Pn-Pn-1)(2≤n≤99).
(3)由(2)知数列{Pn-Pn-1}(n≥1)是首项为P1-P0=-1=-,公比为-的等比数列.
因此有Pn-Pn-1= (P1-P0)=.
由此得到P99=++…++1=.
由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=P98=.