【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系作业 6页

对应学生用书[练案57理][练案53文]‎ 第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　C　)‎ A．相离　　　 B．相切 C．相交　　　 D．以上三个选项均有可能 ‎[解析]　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．‎ ‎2．(2019·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　B　)‎ A．2x＋y－5＝0　　　 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0　　　 D．x－2y－7＝0‎ ‎[解析]　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆心切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B．‎ ‎3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　B　)‎ A．－2　　　 B．－4　　　‎ C．－6　　　 D．－8‎ ‎[解析]　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B．‎ ‎4．(2019·山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)两圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与(x＋1)2＋(y－2)2＝1的公切线有(　D　)‎ A．1条　　　 B．2条　　　‎ C．3条　　　 D．4条 ‎[解析]　两圆的圆心距 d＝＝＞1＋2，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．‎ ‎5．(2019·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，‎ 过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　B　)‎ A．2　　　 B．6　　　‎ C．4　　　 D．2 ‎[解析]　∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝＝2，|CD|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6，故选B．‎ ‎6．(2019·铜川模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为(　B　)‎ A．1　　　 B．2　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B．‎ ‎7．(2019·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(　D　)‎ A．x＝0　　　 B．y＝1‎ C．x＋y－1＝0　　　 D．x－y＋1＝0‎ ‎[解析]　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.‎ ‎8．已知点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为(　C　)‎ A．24　　　 B．16　　　‎ C．8　　　 D．4‎ ‎[解析]　本题考查直线与圆的位置关系的应用．由题知OA⊥PA，OB⊥PB，且|PA|＝|PB|，|OA|＝|OB|＝2，∴四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当|OP|最小，即直线OP垂直于直线2x＋y＋10＝0时，面积S最小，即当|OP|＝＝2时，S的最小值为8，故选C．‎ 二、填空题 ‎9．(2018·课标Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝‎ ‎　2 　.‎ ‎[解析]　∵圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，设圆心为C，∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.∴圆心C到直线AB的距离d＝＝，BC＝2.∴AB＝2＝2＝2.‎ ‎10．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__x2＋y2＝2___.‎ ‎[解析]　本题考查轨迹方程的求法．由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程是x2＋y2＝2.‎ ‎11．(2019·鄂州模拟)点A，B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为__7___.‎ ‎[解析]　由题可知M(0,3)，N(3,8)，令圆M与圆N的半径分别为R1，R2，则点M关于直线x＋y＝0的对称点设为M′，可知坐标为(－3,0)，那么|AC|＋|BC|的最小值就是|M′N|－R1－R2＝－3＝7.故填7.‎ ‎12．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝__1___.‎ ‎[解析]　两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇔y＝，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝＝1⇒a＝1.‎ 三、解答题 ‎13．(2019·江西赣州)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ ‎(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)设点P在圆C上，求点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值．‎ ‎[解析]　(1)圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圆心的坐标为(－1,2)，半径为，因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l的方程为x＋y＋m＝0，于是有＝，得m＝1或m＝－3，‎ 因此直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.‎ ‎(2)因为圆心(－1,2)到直线x－y－5＝0的距离为＝4，所以点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值分别为5和3.‎ ‎14．(2017·课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[解析]　(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2，O)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为· ＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：由BC的中点坐标为(，)，‎ 可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立又x＋mx2－2＝0，‎ 可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，‎ 半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ B组能力提升 ‎1．(2018·课标Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　A　)‎ A．[2,6]　　　 B．[4,8]‎ C．[，3]　　　 D．[2，3]‎ ‎[解析]　由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝，△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝|AB|·d.易知|AB|＝2，dmax＝＋＝3，dmin＝－＝，所以2≤S≤6，故选A．‎ ‎2．(2019·湖北省重点中学联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　B　)‎ A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0‎ B．3x＋4y－12＝0或x＝0‎ C．4x－3y＋9＝0或x＝0‎ D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0‎ ‎[解析]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋()2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B．‎ ‎3．(2019·枣庄模拟)已知点A(0，－6)，B(0,6)，若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－5，5)‎ B．(－，)‎ C．(－∞，－5)∪(5，＋∞)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎[解析]　若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则圆(x－a)2＋(y－3)2＝4与圆x2＋y2＝36外离，即圆心距大于两圆的半径之和，>6＋2，解得a2>55，a>或a<－.选D．‎ ‎4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为__3___.‎ ‎[解析]　设A(a,2a)，a>0，则C(，a)，‎ 联立圆C和直线l得 解得或∴D(1,2)．则·＝(5－a，－2a)·(，2－a)＝＋2a2－4a＝0，解得a＝3或－1.又a>0，∴a＝3，即点A的横坐标为3.‎ ‎5．(2019·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设圆心C(a,0)(a>－)，‎ 则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．‎ 所以圆C：x2＋y2＝4.‎ ‎(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 若x轴平分∠ANB，‎ 则kAN＝－kBN⇒＋＝0‎ ‎⇒＋＝0‎ ‎⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0‎ ‎⇒－＋2t＝0‎ ‎⇒t＝4.‎ 所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．‎