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  • 2021-06-30 发布

2020届二轮复习(文)第1部分主题3不等式、推理与证明学案

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1.不等式的性质及解法 求解不等式问题的 2 个易错点 (1)解形如一元二次不等式 ax2+bx+c>0 时,易忽视系数 a 的讨论导致漏解 或错解,要注意分 a>0,a<0 进行讨论. (2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法,一定要搞清谁是自变量,谁是 参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.利用分 离参数法时,常用到函数单调性、基本不等式等. 1.已知 a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( ) A.a+1 b >b+1 a B.a+1 a >b+1 b C.b a >b+1 a+1 D.a+b 2 >ab A [因为 a>b>0,所以1 a <1 b ,根据不等式的性质可得 a+1 b >b+1 a ,故 A 正确;对于选项 B,取 a=1,b=1 2 ,则 a+1 a =1+1 1 =2,b+1 b =1 2 +2=5 2 ,故 a +1 a >b+1 b 不成立;根据不等式的性质可得b a <b+1 a+1 ,故 C 错误;取 a=2,b=1, 可知 D 错误.] 2.若关于 x 的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切实数 x 恒成立,则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.(-∞,-2) C.(-2,2) D.(-2,2] D [不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立的条件:当 a=2 时,-4<0 恒成立;当 a≠2 时, a<2, 4a-22-4a-2×-4<0, 解得-2<a<2.故-2< a≤2,选 D.] 3.若关于 x 的不等式 x2-ax+1≤0 的解集中只有一个整数,且该整数为 1, 则 a 的取值范围为( ) A. 2,5 2 B. 2,5 2 C. 2,5 2 D. 2,5 2 A [令 f(x)=x2-ax+1,由题意可得 f1≤0, f2>0, 解得 2≤a<5 2.] 4.若关于 x 的不等式 ax>b 的解集为 -∞,1 5 ,则关于 x 的不等式 ax2+bx -4 5a>0 的解集为________. x|-1<x<4 5 [由 ax>b 的解集为 -∞,1 5 ,可知 a<0,且b a =1 5.将不等 式 ax2+bx-4 5a>0 两边同时除以 a,得 x2+b ax-4 5 <0,所以 x2+1 5x-4 5 <0,即 5x2+x-4<0,解得-1<x<4 5 ,故不等式 ax2+bx-4 5a>0 的解集为 x|-1<x<4 5 .] 5.若不等式 x2+ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是 ________. [-5,+∞) [由题意得,a≥- x+4 x ,设 f(x)=- x+4 x ,x∈(0,1],则只 要 a≥f(x)max,由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增,所以 f(x)max=f(1)=-5,故 a≥ -5.] 2.简单的线性规划问题 解决线性规划问题的 2 个易错点 (1)忽视目标函数中 y 的系数的正负,而由直线截距的最值确定目标函数的最 值.如 T1,T4. (2)求解含参数的线性规划问题,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情 况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求 最优解,从而确定参数的值.如 T2. 1.已知 x,y 满足 2x-y≤0, x-3y+5≥0, x≥0, y≥0, 则 z=8- x· 1 2 y 的最小值为( ) A.1 B. 3 2 4 C. 1 16 D. 1 32 D [可行域如图中阴影部分所示,而 z=8-x· 1 2 y=2-3x-y, 欲使 z 最小,只需使-3x-y 最小即可.由图知当 x=1,y=2 时,-3x-y 的值最小,且-3×1-2=-5,此时 2-3x-y 最小, 最小值为 1 32.故选 D.] 2.实数 x,y 满足 x≥2, x-2y+4≥0, 2x-y-4≤0, 若 z=kx-y 的最大值为 13,则实数 k =( ) A.13 2 或 8 B.13 2 或17 4 C.17 4 D.8 C [由不等式组可得可行域为由点 A(2,0),B(2,3),C(4,4)构成的三角形内部 及其边界,如图所示.若 k≥2,可得当 x=4,y=4 时,z 有最大值,得 4k-4 =13,解得 k=17 4 ;若 0<k<2,可得当 x=2,y=0 时,z 有最大值,得 2k=13, 不合题意;若 k≤0,可得当 x=2,y=0 时,z 有最大值,得 2k=13,不合题意.故 k=17 4 ,选 C.] 3.某中学生在制作纸模过程中需要 A,B 两种规格的小卡纸,现有甲、乙 两种大小不同的卡纸可供选择,每张卡纸可同时截得 A,B 两种规格的小卡纸的 块数如下表,现需 A,B 两种规格的小卡纸分别为 4 块、7 块,所需甲、乙两种 大小不同的卡纸的张数分别为 m,n(m,n 为整数),则 m+n 的最小值为( ) A 规格 B 规格 甲种卡纸 2 1 乙种卡纸 1 3 A.2 B.3 C.4 D.5 B [由题意知 2m+n≥4, m+3n≥7, m≥0,n≥0,m,n∈N, 又不等式组 2m+n≥4, m+3n≥7, m≥0,n≥0 表示的平面区域如图中阴影部分所示,可得目标函数 z=m+n 在点(1,2)处取得最 小值 3,故选 B. ] 4.(2019·全国卷Ⅱ)若变量 x,y 满足约束条件 2x+3y-6≥0, x+y-3≤0, y-2≤0, 则 z=3x -y 的最大值是________. 9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部 分),由图易知,当直线 y=3x-z 过点 C 时,-z 最小, 即 z 最大. 由 x+y-3=0, 2x+3y-6=0, 解得 x=3, y=0, 即 C 点坐标为(3,0), 故 zmax=3×3-0=9.] 5.若实数 x,y 满足 x+2y-4≤0, x≥0, y≥0, 则 z=y+2 x-1 的取值范围为________. (-∞,-2]∪ 2 3 ,+∞ [点(x,y)表示的是以点 O(0,0),A(4,0),B(0,2)为 顶点的三角形的内部及其边界,如图所示.目标函数 z=y+2 x-1 是区域内的点(x,y) 与点 Q(1,-2)连线的斜率.易知 kQA=-2-0 1-4 =2 3 ,kQO=-2 1 =-2,kQB=-2-2 1 =-4,分析可知,z=y+2 x-1 的取值范围为(-∞,-2]∪ 2 3 ,+∞ .] 3.基本不等式 应用基本不等式的 2 个易错点 (1)运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相 等”.所谓“一正”是指“正数”;“二定”指应用基本不等式求最值时,和或 积为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致, 否则最值取不到.如 T1. 1.已知正数 a,b 的等比中项是 2,且 m=b+1 a ,n=a+1 b ,则 m+n 的最小 值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C [由正数 a,b 的等比中项是 2,可得 ab=4,又 m=b+1 a ,n=a+1 b ,所 以 m+n=a+b+1 a +1 b ≥2 ab+ 2 ab =5,当且仅当 a=b=2 时取“=”,故 m+ n 的最小值为 5.] 2.已知 P(a,b)为圆 x2+y2=4 上任意一点,则当 1 a2 + 4 b2 取最小值时,a2 的 值为( ) A.4 5 B.2 C.4 3 D.3 C [∵P(a,b)为圆 x2+y2=4 上任意一点,∴a2+b2=4.又 a≠0,b≠0,∴ 1 a2 + 4 b2 =1 4 1 a2 + 4 b2 (a2+b2)=1 4 5+b2 a2 +4a2 b2 ≥1 4 5+2 b2 a2·4a2 b2 =9 4 ,当且仅当 b2=2a2 =8 3 时取等号,故 a2=4 3 ,选 C.] 3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 C.9 2 D.11 2 B [由题意得 x+2y=8-x·2y≥8- x+2y 2 2,当且仅当 x=2y 时,等号成立, 整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, 所以 x+2y≥4,故选 B.] 4.设 x>0,则函数 y=x+ 2 2x+1 -3 2 的最小值为________. 0 [y=x+ 2 2x+1 -3 2 = x+1 2 + 1 x+1 2 -2≥2-2=0.当且仅当 x+1 2 = 1 x+1 2 ,即 x=1 2 时等号成立.] 5.(2019·天津高考)设 x>0,y>0,x+2y=4,则x+12y+1 xy 的最小值为 ________. 9 2 [x+12y+1 xy =2xy+x+2y+1 xy =2xy+5 xy =2+ 5 xy. ∵x>0,y>0 且 x+2y=4, ∴4≥2 2xy(当且仅当 x=2,y=1 时取等号), ∴2xy≤4,∴ 1 xy ≥1 2 , ∴2+ 5 xy ≥2+5 2 =9 2.] 4.推理与证明 1.破解归纳推理题的思维 3 步骤 (1)发现共性:通过观察特例发现某些相似性; (2)归纳推理:把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题; (3)检验结论:对所得的一般性命题进行检验. 2.破解类比推理题的 3 个关键 (1)会定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)会推测,即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确 的猜想; (3)会检验,即检验猜想的正确性. 3.逻辑推理常考题型——假言判断 此类问题一般涉及的是人与物及某事件,其判断方法为:假设一种情况成立 或不成立,然后以此为出发点,联系条件,判断是否与题设条件相符合. 1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进 行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由 高到低的次序为( ) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 A [由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、 丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则 甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由 高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从 而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综 上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选 A.] 2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得 诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿 墙术”:2 2 3 = 22 3 ,3 3 8 = 33 8 ,4 4 15 = 4 4 15 ,5 5 24 = 5 5 24 ,按照 以上规律,若 8 8 n = 88 n 具有“穿墙术”,则 n=( ) A.7 B.35 C.48 D.63 D [由 2 2 3 = 22 3 ,3 3 8 = 33 8 ,4 4 15 = 4 4 15 ,5 5 24 = 5 5 24 , 归纳猜想出一般规律为 n n n2-1 = n+ n n2-1(n∈N*,n≥2).下面证明: n+ n n2-1 = nn2-1+n n2-1 = n3 n2-1 =n n n2-1 ,故猜想正确.所以 n=82 -1=63,故选 D.] 3.[新题型:多选题]2019 年全国两会之后,某地区为改善民生,调研了甲、 乙、丙、丁、戊 5 个民生项目,得到如下信息:①若该地区引进甲项目,就必须 引进与之配套的乙项目;②丁、戊两个项目与民生密切相关,这两个项目至少要 引进一个;③乙、丙两个项目之间有冲突,两个项目只能引进一个;④丙、丁两 个项目关联度较高,要么同时引进,要么都不引进;⑤若引进项目戊,甲、丁两 个项目也必须引进.则该地区应引进的项目为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 CD [由②知丁、戊两个项目至少要引进一个,若引进戊项目,则由⑤可知 甲、丁两个项目也必须引进;由①④可知必须引进乙、丙两个项目,与③矛盾; 因此必须引进丁项目.由④可知必须引进丙项目;由③可知不能引进乙项目;由 ①可知不能引进甲项目,故该地区只能引进丙、丁两个项目.故选 CD.] 4.在平面内,三角形的面积为 S,周长为 C,则它的内切圆的半径 r=2S C . 在空间中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥 的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R=________. 3V S [若三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径 R=3V S .理由如下: 设三棱锥的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,由于内切球的球心到各面 的距离等于内切球的半径,所以 V=1 3S1R+1 3S2R+1 3S3R+1 3S4R=1 3SR, 所以内切球的半径 R=3V S .] 5.如图,一个质点在坐标系内运动,在第一秒钟它由原点 运动到点(0,1),而后按图所示在与 x 轴、y 轴平行的方向运动, 且每秒移动一个单位长度,那么经过 2 000 秒,这个质点所处的位置的坐标是 _______. (24,44) [质点运动 3 秒时建构出第一个正方形,8 秒时建构出第二个正方 形,15 秒时建构出第三个正方形,24 秒时建构出第四个正方形,所以,建构出 第 n 个正方形需要的时间为(n2+2n)秒,所以,当第四十三个正方形完成时需要 1 935 秒,结合走向可得质点在 2 000 秒时的坐标为(24,44).]