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- 2021-06-30 发布
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1.不等式的性质及解法
求解不等式问题的 2 个易错点
(1)解形如一元二次不等式 ax2+bx+c>0 时,易忽视系数 a 的讨论导致漏解
或错解,要注意分 a>0,a<0 进行讨论.
(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法,一定要搞清谁是自变量,谁是
参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.利用分
离参数法时,常用到函数单调性、基本不等式等.
1.已知 a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( )
A.a+1
b
>b+1
a B.a+1
a
>b+1
b
C.b
a
>b+1
a+1 D.a+b
2
>ab
A [因为 a>b>0,所以1
a
<1
b
,根据不等式的性质可得 a+1
b
>b+1
a
,故 A
正确;对于选项 B,取 a=1,b=1
2
,则 a+1
a
=1+1
1
=2,b+1
b
=1
2
+2=5
2
,故 a
+1
a
>b+1
b
不成立;根据不等式的性质可得b
a
<b+1
a+1
,故 C 错误;取 a=2,b=1,
可知 D 错误.]
2.若关于 x 的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切实数 x 恒成立,则实
数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,-2)
C.(-2,2) D.(-2,2]
D [不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立的条件:当 a=2 时,-4<0
恒成立;当 a≠2 时, a<2,
4a-22-4a-2×-4<0,
解得-2<a<2.故-2<
a≤2,选 D.]
3.若关于 x 的不等式 x2-ax+1≤0 的解集中只有一个整数,且该整数为 1,
则 a 的取值范围为( )
A. 2,5
2 B. 2,5
2
C. 2,5
2 D. 2,5
2
A [令 f(x)=x2-ax+1,由题意可得 f1≤0,
f2>0,
解得 2≤a<5
2.]
4.若关于 x 的不等式 ax>b 的解集为 -∞,1
5 ,则关于 x 的不等式 ax2+bx
-4
5a>0 的解集为________.
x|-1<x<4
5 [由 ax>b 的解集为 -∞,1
5 ,可知 a<0,且b
a
=1
5.将不等
式 ax2+bx-4
5a>0 两边同时除以 a,得 x2+b
ax-4
5
<0,所以 x2+1
5x-4
5
<0,即
5x2+x-4<0,解得-1<x<4
5
,故不等式 ax2+bx-4
5a>0 的解集为
x|-1<x<4
5 .]
5.若不等式 x2+ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是
________.
[-5,+∞) [由题意得,a≥- x+4
x ,设 f(x)=- x+4
x ,x∈(0,1],则只
要 a≥f(x)max,由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增,所以 f(x)max=f(1)=-5,故 a≥
-5.]
2.简单的线性规划问题
解决线性规划问题的 2 个易错点
(1)忽视目标函数中 y 的系数的正负,而由直线截距的最值确定目标函数的最
值.如 T1,T4.
(2)求解含参数的线性规划问题,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情
况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求
最优解,从而确定参数的值.如 T2.
1.已知 x,y 满足
2x-y≤0,
x-3y+5≥0,
x≥0,
y≥0,
则 z=8- x·
1
2 y 的最小值为( )
A.1 B.
3 2
4 C. 1
16 D. 1
32
D [可行域如图中阴影部分所示,而 z=8-x·
1
2 y=2-3x-y,
欲使 z 最小,只需使-3x-y 最小即可.由图知当 x=1,y=2
时,-3x-y 的值最小,且-3×1-2=-5,此时 2-3x-y 最小,
最小值为 1
32.故选 D.]
2.实数 x,y 满足
x≥2,
x-2y+4≥0,
2x-y-4≤0,
若 z=kx-y 的最大值为 13,则实数 k
=( )
A.13
2
或 8 B.13
2
或17
4
C.17
4 D.8
C [由不等式组可得可行域为由点 A(2,0),B(2,3),C(4,4)构成的三角形内部
及其边界,如图所示.若 k≥2,可得当 x=4,y=4 时,z 有最大值,得 4k-4
=13,解得 k=17
4
;若 0<k<2,可得当 x=2,y=0 时,z 有最大值,得 2k=13,
不合题意;若 k≤0,可得当 x=2,y=0 时,z 有最大值,得 2k=13,不合题意.故
k=17
4
,选 C.]
3.某中学生在制作纸模过程中需要 A,B 两种规格的小卡纸,现有甲、乙
两种大小不同的卡纸可供选择,每张卡纸可同时截得 A,B 两种规格的小卡纸的
块数如下表,现需 A,B 两种规格的小卡纸分别为 4 块、7 块,所需甲、乙两种
大小不同的卡纸的张数分别为 m,n(m,n 为整数),则 m+n 的最小值为( )
A 规格 B 规格
甲种卡纸 2 1
乙种卡纸 1 3
A.2 B.3 C.4 D.5
B [由题意知
2m+n≥4,
m+3n≥7,
m≥0,n≥0,m,n∈N,
又不等式组
2m+n≥4,
m+3n≥7,
m≥0,n≥0
表示的平面区域如图中阴影部分所示,可得目标函数 z=m+n 在点(1,2)处取得最
小值 3,故选 B.
]
4.(2019·全国卷Ⅱ)若变量 x,y 满足约束条件
2x+3y-6≥0,
x+y-3≤0,
y-2≤0,
则 z=3x
-y 的最大值是________.
9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部
分),由图易知,当直线 y=3x-z 过点 C 时,-z 最小,
即 z 最大.
由 x+y-3=0,
2x+3y-6=0,
解得 x=3,
y=0,
即 C 点坐标为(3,0),
故 zmax=3×3-0=9.]
5.若实数 x,y 满足
x+2y-4≤0,
x≥0,
y≥0,
则 z=y+2
x-1
的取值范围为________.
(-∞,-2]∪
2
3
,+∞
[点(x,y)表示的是以点 O(0,0),A(4,0),B(0,2)为
顶点的三角形的内部及其边界,如图所示.目标函数 z=y+2
x-1
是区域内的点(x,y)
与点 Q(1,-2)连线的斜率.易知 kQA=-2-0
1-4
=2
3
,kQO=-2
1
=-2,kQB=-2-2
1
=-4,分析可知,z=y+2
x-1
的取值范围为(-∞,-2]∪
2
3
,+∞
.]
3.基本不等式
应用基本不等式的 2 个易错点
(1)运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相
等”.所谓“一正”是指“正数”;“二定”指应用基本不等式求最值时,和或
积为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,
否则最值取不到.如 T1.
1.已知正数 a,b 的等比中项是 2,且 m=b+1
a
,n=a+1
b
,则 m+n 的最小
值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C [由正数 a,b 的等比中项是 2,可得 ab=4,又 m=b+1
a
,n=a+1
b
,所
以 m+n=a+b+1
a
+1
b
≥2 ab+ 2
ab
=5,当且仅当 a=b=2 时取“=”,故 m+
n 的最小值为 5.]
2.已知 P(a,b)为圆 x2+y2=4 上任意一点,则当 1
a2
+ 4
b2
取最小值时,a2 的
值为( )
A.4
5 B.2 C.4
3 D.3
C [∵P(a,b)为圆 x2+y2=4 上任意一点,∴a2+b2=4.又 a≠0,b≠0,∴ 1
a2
+ 4
b2
=1
4
1
a2
+ 4
b2 (a2+b2)=1
4
5+b2
a2
+4a2
b2 ≥1
4
5+2 b2
a2·4a2
b2 =9
4
,当且仅当 b2=2a2
=8
3
时取等号,故 a2=4
3
,选 C.]
3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( )
A.3 B.4 C.9
2 D.11
2
B [由题意得 x+2y=8-x·2y≥8-
x+2y
2 2,当且仅当 x=2y 时,等号成立,
整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又 x+2y>0,
所以 x+2y≥4,故选 B.]
4.设 x>0,则函数 y=x+ 2
2x+1
-3
2
的最小值为________.
0 [y=x+ 2
2x+1
-3
2
= x+1
2 + 1
x+1
2
-2≥2-2=0.当且仅当 x+1
2
= 1
x+1
2
,即
x=1
2
时等号成立.]
5.(2019·天津高考)设 x>0,y>0,x+2y=4,则x+12y+1
xy
的最小值为
________.
9
2 [x+12y+1
xy
=2xy+x+2y+1
xy
=2xy+5
xy
=2+ 5
xy.
∵x>0,y>0 且 x+2y=4,
∴4≥2 2xy(当且仅当 x=2,y=1 时取等号),
∴2xy≤4,∴ 1
xy
≥1
2
,
∴2+ 5
xy
≥2+5
2
=9
2.]
4.推理与证明
1.破解归纳推理题的思维 3 步骤
(1)发现共性:通过观察特例发现某些相似性;
(2)归纳推理:把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题;
(3)检验结论:对所得的一般性命题进行检验.
2.破解类比推理题的 3 个关键
(1)会定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2)会推测,即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确
的猜想;
(3)会检验,即检验猜想的正确性.
3.逻辑推理常考题型——假言判断
此类问题一般涉及的是人与物及某事件,其判断方法为:假设一种情况成立
或不成立,然后以此为出发点,联系条件,判断是否与题设条件相符合.
1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进
行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由
高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
A [由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、
丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则
甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由
高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从
而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综
上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选 A.]
2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得
诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿
墙术”:2 2
3
= 22
3
,3 3
8
= 33
8
,4 4
15
= 4 4
15
,5 5
24
= 5 5
24
,按照
以上规律,若 8 8
n
= 88
n
具有“穿墙术”,则 n=( )
A.7 B.35 C.48 D.63
D [由 2 2
3
= 22
3
,3 3
8
= 33
8
,4 4
15
= 4 4
15
,5 5
24
= 5 5
24
,
归纳猜想出一般规律为 n n
n2-1
= n+ n
n2-1(n∈N*,n≥2).下面证明:
n+ n
n2-1
= nn2-1+n
n2-1
= n3
n2-1
=n n
n2-1
,故猜想正确.所以 n=82
-1=63,故选 D.]
3.[新题型:多选题]2019 年全国两会之后,某地区为改善民生,调研了甲、
乙、丙、丁、戊 5 个民生项目,得到如下信息:①若该地区引进甲项目,就必须
引进与之配套的乙项目;②丁、戊两个项目与民生密切相关,这两个项目至少要
引进一个;③乙、丙两个项目之间有冲突,两个项目只能引进一个;④丙、丁两
个项目关联度较高,要么同时引进,要么都不引进;⑤若引进项目戊,甲、丁两
个项目也必须引进.则该地区应引进的项目为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
CD [由②知丁、戊两个项目至少要引进一个,若引进戊项目,则由⑤可知
甲、丁两个项目也必须引进;由①④可知必须引进乙、丙两个项目,与③矛盾;
因此必须引进丁项目.由④可知必须引进丙项目;由③可知不能引进乙项目;由
①可知不能引进甲项目,故该地区只能引进丙、丁两个项目.故选 CD.]
4.在平面内,三角形的面积为 S,周长为 C,则它的内切圆的半径 r=2S
C .
在空间中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥
的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R=________.
3V
S [若三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径 R=3V
S .理由如下:
设三棱锥的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,由于内切球的球心到各面
的距离等于内切球的半径,所以 V=1
3S1R+1
3S2R+1
3S3R+1
3S4R=1
3SR,
所以内切球的半径 R=3V
S .]
5.如图,一个质点在坐标系内运动,在第一秒钟它由原点
运动到点(0,1),而后按图所示在与 x 轴、y 轴平行的方向运动,
且每秒移动一个单位长度,那么经过 2 000 秒,这个质点所处的位置的坐标是
_______.
(24,44) [质点运动 3 秒时建构出第一个正方形,8 秒时建构出第二个正方
形,15 秒时建构出第三个正方形,24 秒时建构出第四个正方形,所以,建构出
第 n 个正方形需要的时间为(n2+2n)秒,所以,当第四十三个正方形完成时需要
1 935 秒,结合走向可得质点在 2 000 秒时的坐标为(24,44).]