【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版5-1平面向量的概念及其线性运算作业 7页

课时跟踪检测（二十五） 平面向量的概念及其线性运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝________.‎ 解析：根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.‎ 解析：因为＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝.‎ 答案： ‎3．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 解析：由已知，得＝＋，‎ 所以＝－，‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以λ＝1，μ＝－，‎ 则λ＋μ＝.‎ 答案： ‎4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．‎ 解析：如图，因为＝，P是上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.‎ 答案： ‎5．(2019·张家港模拟)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝a，＝b，＝c，若c＝ma＋nb，则m－n＝________.‎ 解析：由向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，‎ 得＝＋＝－3＝－3(CO―→＋)，‎ 即＝＋3－3，‎ 则c＝－a＋b.‎ 又c＝m a＋n b，所以m＝－，n＝，‎ 所以m－n＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎6．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.‎ 解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ 答案：0‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析：由＋＋＝0得点M是△ABC的重心，可知＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.‎ 答案：3‎ ‎2．(2019·江阴期中)若a，b不共线，且a＋m b与2a－b共线，则实数m的值为________．‎ 解析：∵a＋m b与2a－b共线，‎ ‎∴存在实数k，使得a＋mb＝k(2a－b)＝2ka－kb，‎ 又a，b不共线，‎ ‎∴1＝2k，m＝－k，‎ 解得m＝－.‎ 答案：－ ‎3．下列四个结论：‎ ‎①＋＋＝0； ②＋＋＋＝0；‎ ‎③－＋－＝0；④＋＋－＝0，‎ 其中一定正确的结论个数是________．‎ 解析：①＋＋＝＋＝0，①正确；‎ ‎②＋＋＋＝＋＋＝，②错；‎ ‎③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；‎ ‎④＋＋－＝＋＝0，④正确．‎ 故正确的结论个数为3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2018·南汇中学检测)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s＝________.‎ 解析：如图，因为＝2，所以＝.‎ 又因为＝－，‎ 所以＝－.‎ 又＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.‎ 答案：0‎ ‎5．(2018·海安中学检测)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ 答案：a＋b ‎6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________．‎ 解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，‎ 所以＝(＋)＝＋＝－＋－＝ －，‎ 又＝m＋n，‎ 所以m＝，n＝－，‎ 故m＋n＝－＝－.‎ 答案：－ ‎7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝‎ ‎|－|，则||＝________.‎ 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，||＝||＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．(2019·启东期中)在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足＝，＝＋，则＝________.‎ 解析：如图，∵＝，＝＋，＝＋， ‎ ‎∴AD＝AB，DM＝BC，且DM∥BC，‎ ‎∴＝×＝. ‎ 答案： ‎9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把分成2∶1的一个三等分点，DC交OA于点E，设＝a，＝b.‎ ‎(1)用a和b表示向量，；‎ ‎(2)若＝λ，求实数λ的值．‎ 解：(1)依题意，A是BC的中点，‎ 所以2＝＋，‎ 即＝2－＝2a－b，‎ ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.‎ ‎(2)若＝λ，‎ 则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.‎ 因为与共线．‎ 所以存在实数k，使＝k.‎ 即(λ－2)a＋b＝k，‎ 因为a，b是不共线的两个非零向量，‎ 所以解得 ‎10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，‎ ＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ 因为＝2e1－8e2，所以＝2.‎ 又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ 因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ 所以＝λ (λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得 解得k＝12.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若＝x＋y，则x＋y的取值范围是________．‎ 解析：由于A，B，D三点共线，设＝α，则＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，与方向相反，则存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)·＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1. ‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，‎ 所以A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎