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- 2021-06-30 发布
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课时跟踪检测(二十五) 平面向量的概念及其线性运算
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若+=λ,则λ=________.
解析:根据向量加法的运算法则可知,+==2,故λ=2.
答案:2
2.(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+,则=________.
解析:因为=+,所以=-=-+=(-),所以=,所以=.
答案:
3.(2018·启东期末)在平行四边形ABCD中,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.
解析:由已知,得=+,
所以=-,
又=λ+μ,
所以λ=1,μ=-,
则λ+μ=.
答案:
4.(2018·扬州模拟)在△ABC中,N是AC边上一点且=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值是________.
解析:如图,因为=,P是上一点.所以=,=m+=m+,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=.
答案:
5.(2019·张家港模拟)如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,设=a,=b,=c,若c=ma+nb,则m-n=________.
解析:由向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,
得=+=-3=-3(CO―→+),
即=+3-3,
则c=-a+b.
又c=m a+n b,所以m=-,n=,
所以m-n=-2.
答案:-2
6.(2018·江阴高级中学测试)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a+b与c共线,且b+c与a共线,则向量a+b+c=________.
解析:依题意,设a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na.又a与c不共线,于是有m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0.
答案:0
二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m,使得+=m成立,则m=________.
解析:由++=0得点M是△ABC的重心,可知=(+),即+=3,则m=3.
答案:3
2.(2019·江阴期中)若a,b不共线,且a+m b与2a-b共线,则实数m的值为________.
解析:∵a+m b与2a-b共线,
∴存在实数k,使得a+mb=k(2a-b)=2ka-kb,
又a,b不共线,
∴1=2k,m=-k,
解得m=-.
答案:-
3.下列四个结论:
①++=0; ②+++=0;
③-+-=0;④++-=0,
其中一定正确的结论个数是________.
解析:①++=+=0,①正确;
②+++=++=,②错;
③-+-=++=+=0,③正确;
④++-=+=0,④正确.
故正确的结论个数为3.
答案:3
4.(2018·南汇中学检测)已知△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s=________.
解析:如图,因为=2,所以=.
又因为=-,
所以=-.
又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0.
答案:0
5.(2018·海安中学检测)如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=________(用a,b表示).
解析:连结CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.
答案:a+b
6.(2019·常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O,点E为线段AO的中点,若=m+n,则m+n的值为________.
解析:如图所示,因为点E为线段AO的中点,
所以=(+)=+=-+-= -,
又=m+n,
所以m=,n=-,
故m+n=-=-.
答案:-
7.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=
|-|,则||=________.
解析:由|+|=|-|可知,⊥,
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
因此,||=||=2.
答案:2
8.(2019·启东期中)在△ABC中,D为边AB上一点,M为△ABC内一点,且满足=,=+,则=________.
解析:如图,∵=,=+,=+,
∴AD=AB,DM=BC,且DM∥BC,
∴=×=.
答案:
9.如图所示,在△OAB中,点C是以点A为对称中心的点B的对称点,点D是把分成2∶1的一个三等分点,DC交OA于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)依题意,A是BC的中点,
所以2=+,
即=2-=2a-b,
=-=-=2a-b-b=2a-b.
(2)若=λ,
则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
因为与共线.
所以存在实数k,使=k.
即(λ-2)a+b=k,
因为a,b是不共线的两个非零向量,
所以解得
10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,
=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
解:(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因为=2e1-8e2,所以=2.
又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知=e1-4e2,
因为=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
所以=λ (λ∈R),
即3e1-ke2=λe1-4λe2,得
解得k=12.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.(2019·汇龙中学检测)如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若=x+y,则x+y的取值范围是________.
解析:由于A,B,D三点共线,设=α,则=+=+α=+α(-)=(1-α)+α.由于O,C,D三点共线,且点D在圆内,点C在圆上,与方向相反,则存在λ<-1,使得=λ=λ[(1-α)·+α]=λ(1-α)+λα=x+y,因此x=λ(1-α),y=λα,所以x+y=λ<-1.
答案:(-∞,-1)
2.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n (m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.
证明:(1)若m+n=1,
则=m+(1-m)
=+m(-),
所以-=m(-),
即=m,所以与共线.
又因为与有公共点B,
所以A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,
则存在实数λ,使=λ,
所以-=λ(-).
又=m+n.
故有m+(n-1)=λ-λ,
即(m-λ)+(n+λ-1)=0.
因为O,A,B不共线,所以,不共线,
所以所以m+n=1.