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- 2021-06-30 发布
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武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷
理 科 数 学
(本试卷共3页,大题3个,小题22个。答案要求写在答题卡上)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)
1.集合,,则( )
A. B. C. D.
2.复数,其中为虚数单位,则的虚部为( )
A. B. 1 C. D.
3.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于( )
A. B . C. D.
4.把60名同学看成一个总体,且给60名同学进行编号,分5为00,01,…,59,现从中抽取一容量为6的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第6个号码为( )
A.32 B .38 C.39 D.26
5.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1
中,点P是平面A1B1C1D1 内一点,则三棱锥P﹣BCD的正视
图与侧视图的面积之和为( )
A.3 B.2 C.4 D.5
6.在等比数列中,“是方程的两根”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.
某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为以下结论中不正确的为( )
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.已知抛物线y2=2x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线交于M,N两点,若,则|MN|=( )
A. B. C.2 D.
10.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,定点A为双曲线虚轴的一个顶点,过F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B,若=(-1),则此双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.
12.已知函数,当时,的取值范围为
,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知,,与的夹角为,则__________.
14.(x2+1)的展开式的常数项是_________.
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2﹣2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 .
16.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)
D
A
B
C
17.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,已知AB=2,AD=3,
∠ADB=2∠ABD,∠BCD=.
(1)求BD;
(2)求△BCD周长的最大值.
18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形,,,,是中点,点在线段上.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若 ,求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.
19.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求的分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,过右焦点F且垂直于x轴的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=x+m与椭圆C交于M,N两点,求△MFN的面积取最大值时m的值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-x)ex-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间及极值;
(2)设g(x)=(x-t)2+,当a=1时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使方程f(x1)=g(x2)成立,求实数m的最小值.
【选修4-4:极坐标与参数方程】
22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数).在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ2=.
(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;
(2)设t1=1,t2=-1在曲线C1上对应的点分别为A,B,P为曲线C2上的点,求△PAB面积的最大值和最小值.
【选修4-5:不等式选讲】
23.(本小题满分10分)已知函数.
(1)若函数的最小值为3,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,若正数满足,求证:.
武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷
数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)
CACDB ADCBD AC
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.3 14. -42 15. (﹣3,0)∪(3,+∞) 16. 甲
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)
17.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得:==2cos∠ABD,
∴cos∠ABD=,
∴cos∠ABD===,
即:BD2﹣8BD+15=0,解得:BD=3或5;
(2)在△BCD中,∠BCD=,由余弦定理得:cos∠BCD==,
∴BC2+CD2﹣BD2=BC×CD, ∴(BC+CD)2=BD2+3BC×CD,
由基本不等式得:,∴(BC+CD)2≤,
∴,∴(BC+CD)2≤4BD2,
当BD=3时,BC+CD≤6,即3<BC+CD≤6,所以6<BC+CD+BD≤9,
当BD=5时,BC+CD≤10,即3<BC+CD≤10,所以6<BC+CD+BD≤15
所以△BCD周长的最大值为:9或15.
18.(Ⅰ)解:中,∴∴;
连,中
∴∴,∴
又∴平面∴
(Ⅱ)由(1):,又侧面底面于,∴底面,∴以为原点,延长线、、分别为、、轴建系;
∴,,,,,
∴,,,
设,(),则
,
设平面的一个法向量,则,可得
又平面的一个法向量
由题:,即解得:
19. (1)
(2)顾客抽奖3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,
∴,
于是;;
;,
故的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为.
20.解:(1)由题意知解得∴椭圆C的方程为 =1.
(2)联立方程得消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,
Δ=16m2-12(2m2-4)=-8m2+48>0,∴|m|<.
设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-, x1x2=,
∴|MN|=|x1-x2|=.
又点F(,0)到直线MN的距离d=,
∴S△FMN=|MN|·d=|+m|·(|m|<).
令u(m)=(6-m2)(|m|<),则u'(m)=-2(2m+3)(m+)(m-),
令u'(m)=0,得m=-或m=-或m=,
当-0;当-0;当0;当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,a-1),单调递减区间为(a-1,+∞),
∴当x=a-1时,函数f(x)有极大值且为f(a-1)=ea-1-1,f(x)没有极小值.
(2)当a=1时,由(1)知,函数f(x)在x=a-1=0处有最大值f(0)=e0-1=0,
又因为g(x)=(x-t)2+≥0,∴方程f(x1)=g(x2)有解,
必然存在x2∈(0,+∞),使g(x2)=0;∴x=t,ln x=,等价于方程ln x=有解,即m=xln x在(0,+∞)上有解,
记h(x)=xln x,x∈(0,+∞),∴h′(x)=ln x+1,
令h′(x)=0,得x=,当x∈时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x=时,h(x)min=-,所以实数m的最小值为-.
22(1)由曲线C1:得曲线C1的普通方程为x+y-4=0.
由C2:ρ2=得ρ2(2+cos2θ)=6,2ρ2+ρ2cos2θ=6,3x2+2y2=6,
所以曲线C2的直角坐标方程为=1.
(2)由(1)得点P(cos θ,sin θ),点P到直线AB的距离
d=,其中tan φ=,
所以dmax=,dmin=.
又当t1=1,t2=-1时,A(1,-1+4),B(-1,1+4),|AB|=2,
所以△PAB面积的最大值和最小值分别为5,3.
23.(1)解:∵,
∴,又∵,∴.
(2)证明:由(1)知,∴,即,
正数,
∴,
当且仅当时等号成立.