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  • 2021-06-30 发布

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第三次诊断考试数学(理)试题

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武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷 理 科 数 学 ‎(本试卷共3页,大题3个,小题22个。答案要求写在答题卡上)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)‎ ‎1.集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数,其中为虚数单位,则的虚部为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎3.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于(   )‎ A. B . C. D. ‎4.把60名同学看成一个总体,且给60名同学进行编号,分5为00,01,…,59,现从中抽取一容量为6的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第6个号码为(   )‎ A.32 B .38 C.39 D.26‎ ‎5.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1‎ 中,点P是平面A1B1C1D1 内一点,则三棱锥P﹣BCD的正视 图与侧视图的面积之和为(  )‎ A.3 B.2 C.4 D.5‎ ‎6.在等比数列中,“是方程的两根”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.‎ 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为以下结论中不正确的为( )‎ A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 ‎ B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系 C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 ‎8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎9.已知抛物线y2=2x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线交于M,N两点,若,则|MN|=(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎10.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,定点A为双曲线虚轴的一个顶点,过F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B,若=(-1),则此双曲线的离心率是(  )‎ A. B. C.2 D. ‎12.已知函数,当时,的取值范围为 ‎,则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知,,与的夹角为,则__________.‎ ‎14.(x2+1)的展开式的常数项是_________.‎ ‎15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2﹣2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为   .‎ ‎16.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是  .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)‎ D A B C ‎17.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,已知AB=2,AD=3,‎ ‎∠ADB=2∠ABD,∠BCD=.‎ ‎(1)求BD;‎ ‎(2)求△BCD周长的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形,,,,是中点,点在线段上.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若 ,求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.‎ ‎19.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,过右焦点F且垂直于x轴的弦长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=x+m与椭圆C交于M,N两点,求△MFN的面积取最大值时m的值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-x)ex-1,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间及极值;‎ ‎(2)设g(x)=(x-t)2+,当a=1时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使方程f(x1)=g(x2)成立,求实数m的最小值.‎ ‎【选修4-4:极坐标与参数方程】‎ ‎22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数).在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ2=.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设t1=1,t2=-1在曲线C1上对应的点分别为A,B,P为曲线C2上的点,求△PAB面积的最大值和最小值.‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.(本小题满分10分)已知函数.‎ ‎(1)若函数的最小值为3,求实数的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若正数满足,求证:.‎ 武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷 数学(理)参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)‎ CACDB ADCBD AC 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.3 14. -42 15. (﹣3,0)∪(3,+∞) 16. 甲 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)‎ ‎17.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得:==2cos∠ABD,‎ ‎∴cos∠ABD=,‎ ‎∴cos∠ABD===,‎ 即:BD2﹣8BD+15=0,解得:BD=3或5;‎ ‎(2)在△BCD中,∠BCD=,由余弦定理得:cos∠BCD==,‎ ‎∴BC2+CD2﹣BD2=BC×CD, ∴(BC+CD)2=BD2+3BC×CD,‎ 由基本不等式得:,∴(BC+CD)2≤,‎ ‎∴,∴(BC+CD)2≤4BD2,‎ 当BD=3时,BC+CD≤6,即3<BC+CD≤6,所以6<BC+CD+BD≤9,‎ 当BD=5时,BC+CD≤10,即3<BC+CD≤10,所以6<BC+CD+BD≤15‎ 所以△BCD周长的最大值为:9或15.‎ ‎18.(Ⅰ)解:中,∴∴; ‎ 连,中 ‎ ‎∴∴,∴ ‎ 又∴平面∴ ‎ ‎(Ⅱ)由(1):,又侧面底面于,∴底面,∴以为原点,延长线、、分别为、、轴建系; ‎ ‎∴,,,,,‎ ‎∴,,, ‎ 设,(),则 ‎, ‎ 设平面的一个法向量,则,可得 又平面的一个法向量 ‎ 由题:,即解得:‎ 19. ‎(1)‎ ‎(2)顾客抽奖3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,‎ ‎∴,‎ 于是;;‎ ‎;,‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.‎ ‎20.解:(1)由题意知解得∴椭圆C的方程为 =1.‎ ‎(2)联立方程得消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,‎ Δ=16m2-12(2m2-4)=-8m2+48>0,∴|m|<.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-, x1x2=,‎ ‎∴|MN|=|x1-x2|=.‎ 又点F(,0)到直线MN的距离d=,‎ ‎∴S△FMN=|MN|·d=|+m|·(|m|<).‎ 令u(m)=(6-m2)(|m|<),则u'(m)=-2(2m+3)(m+)(m-),‎ 令u'(m)=0,得m=-或m=-或m=,‎ 当-0;当-0;当0;当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)<0,‎ 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,a-1),单调递减区间为(a-1,+∞),‎ ‎∴当x=a-1时,函数f(x)有极大值且为f(a-1)=ea-1-1,f(x)没有极小值.‎ ‎(2)当a=1时,由(1)知,函数f(x)在x=a-1=0处有最大值f(0)=e0-1=0,‎ 又因为g(x)=(x-t)2+≥0,∴方程f(x1)=g(x2)有解,‎ 必然存在x2∈(0,+∞),使g(x2)=0;∴x=t,ln x=,等价于方程ln x=有解,即m=xln x在(0,+∞)上有解,‎ 记h(x)=xln x,x∈(0,+∞),∴h′(x)=ln x+1,‎ 令h′(x)=0,得x=,当x∈时,h′(x)<0,h(x)单调递减,‎ 当x∈时,h′(x)>0,h(x)单调递增,‎ 所以当x=时,h(x)min=-,所以实数m的最小值为-.‎ ‎22(1)由曲线C1:得曲线C1的普通方程为x+y-4=0.‎ 由C2:ρ2=得ρ2(2+cos2θ)=6,2ρ2+ρ2cos2θ=6,3x2+2y2=6,‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为=1.‎ ‎(2)由(1)得点P(cos θ,sin θ),点P到直线AB的距离 d=,其中tan φ=,‎ 所以dmax=,dmin=.‎ 又当t1=1,t2=-1时,A(1,-1+4),B(-1,1+4),|AB|=2,‎ 所以△PAB面积的最大值和最小值分别为5,3.‎ ‎23.(1)解:∵,‎ ‎∴,又∵,∴.‎ ‎(2)证明:由(1)知,∴,即,‎ 正数,‎ ‎∴,‎ 当且仅当时等号成立.‎