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  • 2021-06-30 发布

上海市浦东新区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

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‎2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)‎ ‎1.数1与9的等差中项是______.‎ ‎2.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是______.‎ ‎3.行列式中元素8的代数余子式的值为______.‎ ‎4.若向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,则向量的单位向量=______.‎ ‎5.等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,an=9,则n=______.‎ ‎6.已知向量=(1,2),=(1+x,x),且⊥,则x的值为______.‎ ‎7.已知=﹣,若实数λ满足=λ,则λ的值为______.‎ ‎8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为______.‎ ‎9.关于x的方程=0的解为______.‎ ‎10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为______.‎ ‎11.已知正方形ABCD的边长为1,M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则•的取值范围是______.‎ ‎12.定义=(n∈N*)为向量=(xn,yn)到向量=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,设向量=(cosα,sinα),O为坐标原点,则||=______.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3分)‎ 第15页(共15页)‎ ‎13.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时,在验证n=1成立时,左边应该是(  )‎ A.1+a+a2 B.1+a+a2+a3 C.1+a D.1‎ ‎14.下列命题正确的是(  )‎ A.若(an•bn)=a≠0,则an≠0且bn≠0‎ B.若(an•bn)=0,则an=0或bn=0‎ C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2+…+an D.若无穷数列{an}有极限,则an=an+1‎ ‎15.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是(  )‎ A. +=+ B. +=+ C. +=+ D. +=+‎ ‎16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6<S7,S7>S8,则下列叙述中正确的个数有(  )‎ ‎①S7是所有Sn(n∈N*)中的最大值;‎ ‎②a7是所有an(n∈N*)中的最大值;‎ ‎③公差d一定小于0;‎ ‎④S9一定小于S6.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知,x,y的方程组.‎ ‎(1)求D,Dx,Dy;‎ ‎(2)当实数m为何值时方程组无解;‎ ‎(3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.‎ ‎18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q(0<q≤1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.‎ ‎19.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.‎ ‎(1)若∥,求的坐标;‎ ‎(2)当•取最小值时,求cos∠APB的值.‎ 第15页(共15页)‎ ‎20.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=(lga1+lga2+…+lgan).‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和的最大值.‎ ‎21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(n∈N*,p,q为常数),a1=2,a2=1,a3=q﹣3p.‎ ‎(1)求p,q的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)记集合M={n|λ≥,n∈N*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围.‎ ‎ ‎ 第15页(共15页)‎ ‎2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)‎ ‎1.数1与9的等差中项是 5 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9,解之可得.‎ ‎【解答】解:解:设1与9两数的等差中项为a,‎ 则可得2a=1+9,‎ 解得a=5,‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎2.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是  .‎ ‎【考点】二元一次方程组的矩阵形式.‎ ‎【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出x,y,即可 ‎【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵为 可得到二元线性方程组的表达式 ‎∴‎ 故答案为 ‎ ‎ ‎3.行列式中元素8的代数余子式的值为 ﹣1 .‎ ‎【考点】三阶矩阵.‎ ‎【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案.‎ ‎【解答】解:设A=,‎ 元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1;‎ 第15页(共15页)‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎4.若向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,则向量的单位向量= (,)或(﹣,﹣) .‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算.‎ ‎【分析】利用平面向量坐标运算公式求解.‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,‎ ‎∴=(3,6)﹣(﹣1,3)=(4,3),‎ ‎∴向量的单位向量==±=±(,).‎ 故答案为:(,)或(﹣,﹣).‎ ‎ ‎ ‎5.等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,an=9,则n= 6 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式先求出d,然后在利用等差数列的通项公式求解即可.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,‎ ‎∴a3=﹣1+2d=3,‎ ‎∴d=2,‎ ‎∵an=9=﹣1+(n﹣1)×2,‎ 解得n=6,‎ 故答案为6.‎ ‎ ‎ ‎6.已知向量=(1,2),=(1+x,x),且⊥,则x的值为  .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由⊥,可得•=0,即可得出.‎ ‎【解答】解:∵⊥,‎ ‎∴•=(1+x)+2x=1+3x=0,‎ 解得x=,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎7.已知=﹣,若实数λ满足=λ,则λ的值为 ﹣3 .‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义.‎ ‎【分析】根据向量关系作出平面图形,由线段长度比值可得出答案.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解:∵=﹣,∴P,P1,P2三点共线,且P2在线段P1P的反向延长线上,P2P1=P2P,‎ ‎∴=﹣3,‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎ ‎ ‎8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为 1320 .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】框图首先先给i赋值12,给s赋值1,然后判断判断框中的条件是否满足,满足则执行s=s×i,i=i﹣1,不满足则跳出循环输出s的值.‎ ‎【解答】解:框图首先给i赋值12,给s赋值1.‎ 判断12≥10成立,执行s=1×12=12,i=12﹣1=11;‎ 判断11≥10成立,执行s=12×11=132,i=11﹣1=10‎ 判断10≥10成立,执行s=132×10=1320,i=10﹣1=9;‎ 判断9≥10不成立,跳出循环,输出s的值为1320.‎ 故答案为:1320.‎ ‎ ‎ ‎9.关于x的方程=0的解为 x=2或x=3 .‎ ‎【考点】三阶矩阵.‎ ‎【分析】将行列式展开,整理得=x2﹣5x+6,由x2﹣5x+6=0,即可求得x的值.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解: =1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6,‎ ‎∴x2﹣5x+6=0,解得:x=2或x=3,‎ 故答案为:x=2或x=3.‎ ‎ ‎ ‎10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为 (0,3)∪(3,6) .‎ ‎【考点】数列的极限.‎ ‎【分析】依题意知|q|<1且q≠0,由Sn==3⇒q=1﹣∈(﹣1,1),从而可求得a1的取值范围.‎ ‎【解答】解:设等比数列的公比为q,‎ 依题意知|q|<1且q≠0,‎ ‎∴Sn=,‎ ‎∴Sn==3,‎ 可得q=1﹣∈(﹣1,1),‎ 即﹣1<﹣1<1且﹣1≠0,‎ 解得0<a1<3或3<a1<6.‎ 故答案为:(0,3)∪(3,6).‎ ‎ ‎ ‎11.已知正方形ABCD的边长为1,M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则•的取值范围是 [0,1] .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】如图所示,由数量积的意义可得:当点M位于边AD时, •取得最小值;当点M位于边BC时, •取得最大值.即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 由数量积的意义可得:‎ 当点M位于边AD时, •取得最小值0;‎ 当点M位于边BC时, •取得最大值:1.‎ ‎∴•的取值范围是[0,1].‎ 故答案为:[0,1].‎ 第15页(共15页)‎ ‎ ‎ ‎12.定义=(n∈N*)为向量=(xn,yn)到向量=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,设向量=(cosα,sinα),O为坐标原点,则||= ()n﹣1 .‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换.‎ ‎【分析】由题意可知,分别求得||,代入求得=(cosx﹣sinx,cosx+sinx),及||,进而求得,,,及||,||,||,即可求得||=()n﹣1.‎ ‎【解答】解:由=,‎ ‎∴,‎ 当n=1, =(cosα,sinα),||=cos2α+sin2α=1=()0,‎ ‎∴,‎ ‎=(cosx﹣sinx,cosx+sinx),‎ ‎||===(),‎ ‎=2(﹣sinx,cosx),‎ ‎||==2=()2,‎ ‎=2(﹣sinx﹣cosx,sinx﹣cosx),‎ 第15页(共15页)‎ ‎||=2=2=()3,‎ ‎=4(﹣sinx,﹣cosx),‎ ‎||=4=4=()4,‎ ‎…‎ ‎∴||=()n﹣1,‎ 故答案为:()n﹣1.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3分)‎ ‎13.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时,在验证n=1成立时,左边应该是(  )‎ A.1+a+a2 B.1+a+a2+a3 C.1+a D.1‎ ‎【考点】数学归纳法.‎ ‎【分析】在验证n=1时,左端计算所得的项.只需把n=1代入等式左边即可得到答案.‎ ‎【解答】解:用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”,‎ 在验证n=1时,把当n=1代入,左端=1+a+a2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎14.下列命题正确的是(  )‎ A.若(an•bn)=a≠0,则an≠0且bn≠0‎ B.若(an•bn)=0,则an=0或bn=0‎ C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2+…+an D.若无穷数列{an}有极限,则an=an+1‎ ‎【考点】数列的极限.‎ ‎【分析】对于A,可举an=n,bn=,由数列极限的公式即可判断;对于B,可举an=n,bn=,运用数列极限的公式即可判断;对于C,可举an=()n﹣1,Sn=,求出极限即可判断;对于D,可举an=,求出极限,结合n,n+1趋向于无穷,即可判断.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解:对于A,若(an•bn)=a≠0,可举an=n,bn=,‎ 即有an不存在, =0,故A错;‎ 对于B,若(an•bn)=0,可举an=n,bn=,则an不存在, bn=0,故B错;‎ 对于C,若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,可举an=()n﹣1,Sn=,‎ 即有an=0, Sn=2,显然=a1+a2+…+an不成立,故C错;‎ 对于D,若无穷数列{an}有极限,可举an=, =0,显然=0,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是(  )‎ A. +=+ B. +=+ C. +=+ D. +=+‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义.‎ ‎【分析】用不同的方法表示出同一向量,然后对式子进行化简验证.‎ ‎【解答】解:∵=,,∴,∴.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6<S7,S7>S8,则下列叙述中正确的个数有(  )‎ ‎①S7是所有Sn(n∈N*)中的最大值;‎ ‎②a7是所有an(n∈N*)中的最大值;‎ ‎③公差d一定小于0;‎ ‎④S9一定小于S6.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】利用等差数列的性质求解.‎ ‎【解答】解:∵a7>0,a8<0,∴S7最大,故①正确;‎ ‎∵d<0,∴a1最大,故②错误;‎ 由s6<s7,S7>S8可得S7﹣S6=a7>0,S8﹣S7=a8<0‎ ‎∴a8﹣a7=d<0,故③正确;‎ 第15页(共15页)‎ S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0,故④正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知,x,y的方程组.‎ ‎(1)求D,Dx,Dy;‎ ‎(2)当实数m为何值时方程组无解;‎ ‎(3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.‎ ‎【考点】线性方程组解的存在性,唯一性.‎ ‎【分析】(1)根据方程组得解法求得D=m﹣4,Dx=﹣2,Dy=m﹣2;‎ ‎(2)由线性方程组解得存在性,当丨A丨=0时,方程组无解;根据行列式的展开,求得m的值;‎ ‎(3)由当≠0,方程组有唯一解,由(1)即可求得方程组的解.‎ ‎【解答】解:(1)=,‎ D=m﹣4,Dx=﹣2,Dy=m﹣2 ‎ ‎(2)由A=,当丨A丨=0,‎ 即=m﹣4=0,解得:m=4,‎ ‎∴当m=4,方程组无解 ‎ ‎(3)当≠0,解得:m≠4,方程组有唯一解,‎ 由,①﹣4×②解得:y=,代入求得x=,‎ ‎∴方程的解集为:.‎ ‎ ‎ ‎18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q(0<q≤1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.‎ ‎【考点】数列的极限.‎ ‎【分析】对q讨论,分q=1,0<q<1,运用等比数列的求和公式,以及数列极限的公式计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)当;‎ 第15页(共15页)‎ ‎(2)当,‎ 由.‎ 综上得.‎ ‎ ‎ ‎19.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.‎ ‎(1)若∥,求的坐标;‎ ‎(2)当•取最小值时,求cos∠APB的值.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.‎ ‎【分析】(1)点P是直线OC上的一个动点.可设=(2x,x).利用向量坐标运算、向量共线定理,即可得出.‎ ‎(2)利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵点P是直线OC上的一个动点.‎ ‎∴可设=(2x,x),‎ ‎==(1﹣2x,7﹣x),‎ ‎=﹣=(5﹣2x,1﹣x),‎ ‎∵∥,‎ ‎∴(1﹣2x)(1﹣x)﹣(7﹣x)(5﹣2x)=0,‎ 解得x=.‎ ‎∴=.‎ ‎(2),‎ ‎∴k=2时, •取的最小值﹣8,此时,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎20.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=(lga1+lga2+…+lgan).‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和的最大值.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)利用等比数列的通项公式可得an,再利用等差数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎(2)利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解:(1)an=1000×=104﹣n,‎ ‎=,‎ ‎∴lgan=4﹣n,‎ ‎∴.‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项之和为Tn,则=﹣+,‎ 当n=6,7时,Tn取得最大值.‎ ‎ ‎ ‎21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(n∈N*,p,q为常数),a1=2,a2=1,a3=q﹣3p.‎ ‎(1)求p,q的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)记集合M={n|λ≥,n∈N*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由题意列关于p,q的方程组,求解方程组得p,q的值;‎ ‎(2)把(1)中求得的p,q值代入Sn+1=pSn+q,取n=n﹣1得另一递推式,作差后可得数列{an}是等比数列,进一步得到通项公式;‎ ‎(3)求出数列{an}的前n项和,代入λ≥,构造函数,利用作差法判断函数单调性,由单调性求得实数λ的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,得,‎ 即,解得;‎ ‎(2)由(1)知,,①‎ 当n≥2时,,②‎ ‎①﹣②,得(n≥2),‎ 又,‎ ‎∴数列{an}是首项为2,公比为的等比数列.‎ 第15页(共15页)‎ ‎∴{an}的通项公式为(n∈N*);‎ ‎(3)由,得,‎ 得,令,‎ ‎∵,∴f(n)为递增数列,‎ 且,‎ ‎∴f(3)≤λ<f(4)即可,即.‎ ‎ ‎ 第15页(共15页)‎ ‎2016年9月26日 第15页(共15页)‎