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- 2021-06-30 发布
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不等式与线性规划
1.若a>b，则下列不等式成立的是( )
A．ln a>ln b B．0.3a>0.3b
C．a>b D.>
解析 因为a>b，而对数函数要求真数为正数，所以ln a>ln b不成立；
因为y＝0.3x是减函数，又a>b，则0.3a<0.3b，故B错；
当a＞b＞0时，a>b，则a＞b，故C错；
y＝x在(－∞，＋∞)是增函数，又a>b，则a>b，即>成立，选D.
答案 D
2.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析 0c>b.故选B.
答案 B
3．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )
A．－10的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00.
f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.
答案 C
5．已知点A(－2， 0)，点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是( )
A．5 B．3 C．2 D.
解析 不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x＋y－2＝0的距离，即|AM|min＝＝.
答案 D
6．如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 不等式组表示的可行域如图，A(1，2)，B(1，－1)，C(3，0)
∵目标函数z＝kx－y的最小值为0，∴目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B时取得；
∴①若在A上取得，则k－2＝0，则k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；
②若在B上取得，则k＋1＝0，则k＝－1，此时，z＝－x－y，在B点取得的应是最大值，
故不成立，∴k＝2，故答案为B.
答案 B
7．已知f(x)＝32x －(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1，2－1) D．(－2－1，2－1)
解析 由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，
解得k＋1<3x＋，
而3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，∴k＋1<2，即k<2－1.
答案 B
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
解析 ∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a>0且Δ＝4－4ac＝0.∴c＝，
∴＋＝＋＝＋≥4(当且仅当a＝1时取等号)，
∴＋的最小值为4，故选A.
答案 A
9．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
答案 C
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤
11．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )
A.＜ B.＞0
C.< D.＜0
解析：∵c0，∴<，>0，<0，
但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．
答案：C
12．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
解析：依题意，－与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，则即又a<0，不等式x2－bx－a<0可化为x2－x
－1>0，即－x2＋x－1>0，解得20时，＋＝(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，当且仅当y＝x时取等号，因为＋≥4对任意的x，y∈(0,1)恒成立，∴1＋a＋2≥4，解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．当a≤0时显然不满足题意，故选D.
答案：D
14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( )
解析：由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，
∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．
答案：B
15．设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．2
解析：2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当2a＝2b，a＋b＝3，即a＝b＝时，等号成立．故选B.
答案：B
16．已知实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z＝的取值范围为[kMA,1)，即.
答案：D
17．设a，b为实数，则“a<或b<”是“01，所以“a<或b<”不是“00，b>0，则a<或b<；若a<0，b<0，则a>或b>.所以“a<或b<”不是“0－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，>0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
19．若x，y满足约束条件，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－40在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：x2＋ax－2>0，即ax>2－x2.
∵x∈[1,5]，∴a>－x成立．
∴a>min.又函数f(x)＝－x在[1,5]上是减函数，
∴min＝－5＝－，∴a>－.故选A.
答案：A
21．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
解析：因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)．
由题意，点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.
而＋＝×(m＋n)
＝，
因为mn＞0，所以＞0，＞0.
由均值不等式，可得＋≥2× ＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，
所以＋＝≥×(2＋2)＝2，即＋的最小值为2.
答案：2
22．设P(x，y)是函数y＝(x＞0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．
解析：因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得
x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：2
23．若变量x，y满足约束条件则w＝4x·2y的最大值是________．
24．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意知，m2－m≥f(x)max.当x＞1时，f(x)＝logx是减函数，且f(x)＜0；当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，其图象的对称轴方程是x＝，且开口向下，
∴f(x)max＝－＋＝.∴m2－m≥，即4m2－3m－1≥0，∴m≤－或m≥1.
答案：∪[1，＋∞)
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