2020年高中数学第二章推理与证明2 4页

‎2.2.2‎‎ 反证法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”‎ 答案：D ‎2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(　　)‎ A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都大于1‎ C．a，b，c都小于2‎ D．a，b，c中至少有一个不小于 解析：假设a，b，c中都小于，‎ 则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾 ‎∴a，b，c中至少有一个不小于.‎ 答案：D ‎3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，‎ ‎(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是(　　)‎ A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确 解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．‎ 答案：D 4‎ ‎4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　　)‎ A．都大于2　　　　　 B．至少有一个不大于2‎ C．都小于2 D．至少有一个不小于2‎ 解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2‎ 则a＋<2，b＋<2，c＋<2‎ ‎∴a＋＋b＋＋c＋<6，①‎ 又a，b，c大于0‎ 所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.‎ ‎∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②‎ 故①与②式矛盾，假设不成立 所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.‎ 答案：D ‎5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设三内角都不大于60°‎ B．假设三内角都大于60°‎ C．假设三内角至少有一个大于60°‎ D．假设三内角至多有两个大于60°‎ 解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°.‎ 答案：B ‎6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．‎ 解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．‎ 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形 ‎7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.‎ 其中能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是________(填序号)．‎ 解析：显然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．‎ 答案：③‎ ‎8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：‎ 假设________．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.‎ 4‎ 显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．‎ 解析：由反证法的步骤可得．‎ 答案：质数只有有限多个　除p1，p2，…，pn之外 ‎9．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．‎ 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．‎ 假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.‎ 因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．‎ ‎10．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ 证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，‎ 则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，‎ 由0b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．‎ 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.‎ 答案：0‎ 4‎ ‎4．已知a，b，c∈(0,1)．‎ 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于，‎ 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.‎ 因为00.‎ 由基本不等式≥> 同理>，> 以上三个不等式相加 ＋＋>，即>.‎ 这是不可能的．‎ 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.‎ ‎5．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．‎ 证明：假设数列{cn}是等比数列，则 ‎(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①‎ 因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，‎ 所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.‎ 代入①并整理，得 ‎2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1‎ ‎＝anbn，‎ 即2＝＋.②‎ 当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；‎ 当p，q同号时，由于p≠q，‎ 所以＋>2，与②相矛盾．‎ 故数列{cn}不是等比数列．‎ 4‎