【数学】2021届一轮复习人教版文26平面向量的数量积与应用举例作业 7页

课时作业 26　平面向量的数量积与应用举例 [基础达标] 一、选择题 1．[2019·江西南昌二中期末]已知向量 a＝(－2，－1)，b＝(λ， 1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 λ 的取值范围是(　　) A．（－1 2 ，＋∞ ） B．(2，＋∞) C．（－1 2 ，2）∪(2，＋∞) D．（－1 2 ，0）∪(0，＋∞) 解析：∵a 与 b 的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即 λ>－ 1 2 .又 a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ 的取值范围是（－1 2 ，2）∪(2，＋∞)．故 选 C 项． 答案：C 2．[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知△ABC 中，AB＝10，AC＝6， BC＝8，M 为 AB 边上的中点，则CM → ·CA → ＋CM → ·CB → ＝(　　) A．0 B．25 C．50 D．100 解析：解法一　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2， ∴CA → ⊥CB → ，∴CA → ·CB → ＝0.又 M 为 AB 边上的中点，∴CM → ＝ CA → ＋CB → 2 ， ∴CM → ·CA → ＋CM → ·CB → ＝ (CA → ＋CB → )2 2 ＝ CA → 2＋2CA → ·CB → ＋CB → 2 2 ＝36＋64 2 ＝50. 故选 C 项． 解法二　如图，CD → ＝CA → ＋CB → ，∵M 为 AB 边上的中点，∴CM → ＝ CA → ＋CB → 2 ＝ CD → 2 ，∴CM → ·CA → ＋CM → ·CB → ＝ (CA → ＋CB → )2 2 ＝ CD → 2 2 .∵AB＝10，AC＝ 6 ，BC ＝8 ，∴AB 2 ＝AC 2 ＋BC 2 ，∴|CD → | ＝AB ＝10 ，∴ CM → ·CA → ＋ CM → ·CB → ＝50.故选 C 项． 解法三　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴CA → ⊥CB → .如图，以 C 为坐标原点，CB，CA 所在直线分别为 x，y 轴，建 立平面直角坐标系，其中CA → ＝(0,6)，CB → ＝(8,0)，∵M 为 AB 边上的 中点，∴CM → ＝(4,3)，∴CM → ·CA → ＋CM → ·CB → ＝18＋32＝50.故选 C 项． 答案：C 3．[2020·广西南宁摸底]若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b| ＝2|a|，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角的余弦值是(　　) A.1 2 B．－1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 解析：结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则可知 a＋ b，a－b 分别为以 a，b 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量， 因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩 形的较长边的夹角为π 6 ，数形结合可知向量 a＋b 与 a－b 的夹角为2π 3 ， 夹角的余弦值为－1 2 .故选 B 项． 答案：B 4．[2019·辽宁大连期中]已知 O 为△ABC 的外心，|AB → |＝4，|AC → |＝ 2，则AO → ·(AB → ＋AC → )＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 解析：∵O 是△ABC 的外心，∴AO → 在AB → 上的投影为1 2 |AB → |＝2，AO → 在AC → 上的投影为1 2 |AC → |＝1，∴AO → ·(AB → ＋AC → )＝AO → ·AB → ＋AO → ·AC → ＝2|AB → | ＋|AC → |＝10.故选 C 项． 答案：C 5．[2019·山西太原期末]平面向量 a，b，c 不共线，且两两所成 的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝(　　) A．1 B．2 C. 5 D．5 解析：解法一　∵a，b，c 不共线且两两所成的角相等，∴a， b，c 两两所成的角均为 120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c ＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1，∴|a＋b＋c|＝1.故 选 A 项． 解法二　设 a＋b＝d，∵a，b，c 不共线且两两所成的角相等， ∴a，b，c 两两所成的角均为 120°，∴d＝λc(λ<0)．又|a|＝|b|＝2，∴|d| ＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c，∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.故选 A 项． 解法三　如图，建立平面直角坐标系，∵a，b，c 不共线且两两 所成的角相等，∴a，b，c 两两所成的角均为 120°.又|a|＝|b|＝2，|c|＝ 1，∴a＝(－1， 3)，b＝(－1，－ 3)，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－ 1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故选 A 项． 答案：A 二、填空题 6．[2019·全国卷Ⅲ]已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a － 5b，则 cos〈a，c〉＝________. 解析：设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，则 c＝(2，－ 5)，所以 cos〈a， c〉＝ 2 1 × 4＋5 ＝2 3 . 答案：2 3 7．[2020·陕西西安二中测试]已知向量 a 在 b 方向上的投影为－1， 向量 b 在 a 方向上的投影为－1 2 ，且|b|＝1，则|a－b|＝________. 解析：设向量 a 和 b 所成的角为 θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－1 2 .∵|b|＝1，∴cos θ＝－ 1 2 ，|a|＝2，∴|a－b| 2＝7，∴|a－b|＝ 7. 答案： 7 8．[2020·唐山联考]在△ABC 中，(AB → －3AC → )⊥CB → ，则角 A 的最 大值为________． 解析：因为( AB → －3AC → )⊥CB → ，所以(AB → －3AC → )·CB → ＝0，( AB → － 3AC → )·(AB → － AC → ) ＝ 0 ， AB → 2 － 4AC → ·AB → ＋ 3AC → 2 ＝ 0 ， 即 cos A ＝ |AB → |2＋3|AC → |2 4|AC → |·|AB → | ＝ |AB → | 4|AC → | ＋ 3|AC → | 4|AB → | ≥2 3 16 ＝ 3 2 ，当且仅当|AB → |＝ 3|AC → |时 等号成立．因为 0b，所以 A>B，又 B 是△ABC 的一个内角， 则 B＝π 4 ，由余弦定理得(4 2)2＝52＋c2－2×5c×（－3 5）， 解得 c＝1. 故向量BA → 在BC → 方向上的投影为 |BA → |cos B＝ccos B＝1× 2 2 ＝ 2 2 . [能力挑战] 11．[2020·山东淄博一中期中]已知|OA → |＝3，|OB → |＝2，OC → ＝mOA → ＋nOB → ，m，n∈R，若OA → 与OB → 的夹角为 60°，且OC → ⊥AB → ，则m n 的值 为(　　) A.1 4 B.1 6 C．6 D．4 解析：通解　∵| OA → |＝3，| OB → |＝2， OA → 与OB → 的夹角为 60°， ∴OA → ·OB → ＝3.又OC → ⊥AB → ，∴OC → ·AB → ＝0.又OC → ＝mOA → ＋nOB → ，AB → ＝OB → －OA → ，∴(mOA → ＋nOB → )·(OB → －OA → )＝0，即－mOA → 2＋(m－n)OA → ·OB → ＋n OB → 2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴m n ＝1 6 .故选 B 项． 优解　如图，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直 角坐标系，∵|OA → |＝3，|OB → |＝2，OA → 与OB → 的夹角为 60°，∴OB → ＝(1， 3)，OA → ＝(3,0)，∴AB → ＝OB → －OA → ＝(－2， 3)，OC → ＝(3m＋n， 3 n)．又OC → ⊥AB → ，∴OC → ·AB → ＝0，∴－6m－2n＋3n＝0，∴n＝6m，∴m n ＝1 6 .故选 B 项． 答案：B 12．[2020·天津第一中学月考]如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ 90°，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 AB 的中点，若CD → 在BC → 上的投影为 －1 2 ，则CE → ·BD → ＝(　　) A．－2 B．－1 2 C．0 D. 2 解析：通解　∵CD → 在BC → 上的投影为－1 2 ，∴CD → 在CB → 上的投影为 1 2 .∵BC＝2，∴AD＝3 2 .又点 E 为 AB 的中点，∴CE → ＝BE → －BC → ＝1 2BA → － BC → ，又BD → ＝BA → ＋AD → ＝BA → ＋3 4BC → ，∠ABC＝90°，∴CE → ·BD → ＝1 2BA → 2－5 8 BA → ·BC → －3 4BC → 2＝－2.故选 A 项． 优解　以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(0,0)，C(2,0)，E(0， 2 2 )，∴CE → ＝(－ 2， 2 2 )，又CD → 在BC → 上的投影为－1 2 ，∴D(3 2 ， 2)，∴BD → ＝(3 2 ， 2)， ∴CE → ·BD → ＝－2.故选 A 项． 答案：A 13．[2020·重庆一中月考]设非零向量 a，b，c 满足 a＋ 2b＋c＝ 0，且|b|＝|a|，向量 a，b 的夹角为 135°，则向量 a，c 的夹角为 ________． 解析：解法一　∵a＋ 2b＋c＝0，∴a＋ 2b＝－c，∴a2＋ 2 b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且 a，b 的夹角为 135°，∴a·b＝－ 2 2 |a|2，∴a·c＝ 0，∴a，c 的夹角为 90°. 解法二　如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则 a＝(2,0)， b＝(－ 2， 2)，∵a＋ 2b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0， ∴a，c 的夹角为 90°. 解法三　如图，∵|a|＝|b|且 a，b 的夹角为 135°，∴(a＋ 2 b)⊥a，又 a＋ 2b＝－c，∴a，c 的夹角为 90°. 答案：90°