【数学】2020届一轮复习（理）通用版8-2空间点、线、面的位置关系作业 9页

‎8.2　空间点、线、面的位置关系 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.点、线、面的位置关系 ‎①理解空间直线、平面位置关系的定义,了解有关可以作为推理依据的公理和定理.‎ ‎②能运用公理、定理和已获得的结论证明空间图形的位置关系 ‎2016浙江,2,5分 点、线、面的位置关系 线面平行、垂直的性质 ‎★★☆‎ ‎2015福建,7,5分 线、面的位置关系 充分条件、必要条件 ‎2.异面直线所成的角 会求异面直线所成的角 ‎2018课标Ⅱ,9,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量 ‎★★★‎ ‎2017课标Ⅱ,10,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量 ‎2016课标Ⅰ,11,5分 异面直线所成的角 面面平行的性质 ‎2014课标Ⅱ,11,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量 分析解读　　1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　点、线、面的位置关系 ‎1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a∥b,b⊂α,则a∥α B.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b C.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β D.α∥β,a⊂α,则a∥β 答案　D　‎ ‎2.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(　　)‎ A.点A　　　　B.点B C.点C但不过点M　　　　D.点C和点M 答案　D　‎ ‎3.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是(　　)‎ A.相交　　　　B.平行　　　　C.异面　　　　D.以上都有可能 答案　B　‎ 考点二　异面直线所成的角 ‎1.(2017河北唐山3月模拟,10)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4‎3‎,则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)‎ A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018广东东莞模拟,6)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为(　　)‎ A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°‎ 答案　C　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　点、线、面位置关系的判定及应用 ‎1.(2018四川泸州模拟,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1‎ 是异面直线的条数为(　　)‎ A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017河北邢台二模,5)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;　　　　②若m∥n,m∥β,则n∥β;‎ ‎③若m∥α,m∥β,则α∥β;　　　　④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018安徽皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为　　　　. ‎ 答案　‎‎0,‎‎1‎‎2‎ 方法2　异面直线所成角的求法 ‎1.(2018河北、山西、河南三省4月联考,10)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎5‎‎8‎　　　　B.‎3‎‎4‎　　　　C.‎7‎‎8‎　　　　D.‎‎1‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018上海普陀一模,18)如图所示的圆锥的体积为‎3‎‎3‎π,底面直径AB=2,点C是AB的中点,点D是母线PA的中点.‎ ‎(1)求该圆锥的侧面积;‎ ‎(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.‎ 解析　(1)∵圆锥的体积为‎3‎‎3‎π,底面直径AB=2,‎ ‎∴‎1‎‎3‎π×12×PO=‎3‎‎3‎π,‎ 解得PO=‎3‎,‎ ‎∴PA=‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=2,‎ ‎∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π.‎ ‎(2)连接OC.‎ ‎∵点C是AB的中点,O为底面圆心,‎ ‎∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,‎ ‎∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(0,-1,0),P(0,0,‎3‎),D‎0,-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,B(0,1,0),C(1,0,0),PB=(0,1,-‎3‎),CD=‎-1,-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,‎ 设异面直线PB与CD所成角为θ,‎ 则cos θ=‎|PB·CD|‎‎|PB|·|CD|‎=‎2‎‎2‎‎2‎=‎2‎‎2‎,‎ ‎∴θ=π‎4‎.‎ ‎∴异面直线PB与CD所成角为π‎4‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2017课标Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎3‎‎2‎　　　　B.‎15‎‎5‎　　　　C.‎10‎‎5‎　　　　D.‎‎3‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎2‎　　　　C.‎3‎‎3‎　　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎30‎‎10‎　　　　D.‎‎2‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎4.(2017课标Ⅲ,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;‎ ‎②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°;‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是　　　　.(填写所有正确结论的编号) ‎ 答案　②③‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　点、线、面的位置关系 ‎1.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.至多等于3　　　　B.至多等于4‎ C.等于5　　　　D.大于5‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎3.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.l1⊥l4　　　　B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行　　　　D.l1与l4的位置关系不确定 答案　D　‎ 考点二　异面直线所成的角 ‎　(2015四川,14,5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(　　)‎ A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 答案　D　‎ ‎2.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.‎ ‎(1)证明:PE⊥FG;‎ ‎(2)求二面角P-AD-C的正切值;‎ ‎(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.‎ 解析　(1)证明:因为PD=PC,点E为DC的中点,‎ 所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ 又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.‎ ‎(2)由(1)可知,PE⊥AD.‎ 因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.‎ 又因为PE∩DC=E,‎ 所以AD⊥平面PDC.‎ 而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.‎ 由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.‎ 在Rt△PDE中,PE=PD‎2‎-DE‎2‎=‎7‎,‎ 所以tan∠PDC=PEDE=‎7‎‎3‎.‎ 从而二面角P-AD-C的正切值为‎7‎‎3‎.‎ ‎(3)连接AC.因为FBAB=BGBC=‎1‎‎3‎,‎ 所以FG∥AC.‎ 易求得AC=3‎5‎,PA=PD‎2‎+DA‎2‎=5.‎ 所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,‎ 在△PAC中,cos∠PAC=PA‎2‎+AC‎2‎-PC‎2‎‎2PA·AC=‎9‎‎5‎‎25‎.‎ 所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为‎9‎‎5‎‎25‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届广东汕头第三次联考,4)下列命题中,错误命题的个数为(　　)‎ ‎(1)直线a与平面α不平行,则直线a与平面α内的所有直线都不平行;‎ ‎(2)直线a与平面α不垂直,则直线a与平面α内的所有直线都不垂直;‎ ‎(3)异面直线a、b不垂直,则过直线a的任何平面与直线b都不垂直;‎ ‎(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则直线a和c共面.　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届黑龙江哈尔滨师范大学附中期中,6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,则直线A1B与AC1所成角的大小为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.90°　　　　D.120°‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届辽宁沈阳东北育才学校模拟,8)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　　)‎ A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1‎ C.AE,B1C1为异面直线且AE⊥B1C1‎ D.A1C1∥平面AB1E 答案　C　‎ ‎4.(2019届广东肇庆第一次统测,9)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1‎ 的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中不正确‎···‎的是(　　)‎ A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B.平面DMN⊥平面BCC1B1‎ C.三棱锥A1-DMN的体积为定值 D.△DMN可能为直角三角形 答案　D　‎ ‎5.(2017广东惠州三调,11)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎①直线BE与直线CF异面;　　　　②直线BE与直线AF异面;‎ ‎③直线EF∥平面PBC;　　　　④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有(　　)‎ A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 答案　B　‎ ‎6.(2018四川成都二诊,5)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是(　　)‎ A.若m⊂α,则m⊥β B.若m⊂α,n⊂β,则m⊥n C.若m⊄α,m⊥β,则m∥α D.若α∩β=m,n⊥m,则n⊥α 答案　C　‎ ‎7.(2018山东泰安二模,9)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题正确的是(　　)‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n　　　　B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C.若m∥α,m∥β,则α∥β　　　　D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n 答案　D　‎ ‎8.(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎2‎‎5‎‎5‎　　　　D.‎‎5‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎9.(2018河南百校联盟联考,11)如图所示,在四棱锥A-BCDE中,三角形ACD与三角形ADE均为正三角形,三角形ACE为直角三角形,四边形BCDE为平行四边形,M,N分别为AB,DE的中点,则异面直线CE与MN所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎6‎‎6‎　　　　D.‎‎6‎‎3‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎10.(2018湖北黄冈八模,15)已知棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AA1=AB=BC=2AD=2,AD∥BC,AB⊥BC,则直线A1D与直线CD1所成的角的正切值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎11.(2018河北唐山统一考试,14)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为　　　　. ‎ 答案　8‎