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  • 2021-07-01 发布

高考数学复习专题练习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、选择题 ‎1.已知tan α=-a,则tan(π-α)的值等于(  )‎ A.a B.-a C. D.- 解析 tan(π-α)=-tan α=a.‎ 答案 A ‎2.已知sin x=cos x,则等于(  )‎ A.- B.- C.- D. 解析 由sin x=cos x,得tan x=.‎ ‎∴===-.故选B.‎ 答案 B ‎3.若=,则tan 2α= (  ).‎ A.- B. C.- D. 解析 由=,得=,所以tan α=-3,所以tan 2α==.‎ 答案 B ‎4.若tan α=3,则的值等于 (  ).‎ A.2 B.‎3 ‎ C.4 D.6‎ 解析 ===2tan α,又tan α=3,故=6.‎ 答案 D ‎5.若sin α是5x2-7x-6=0的根,则 = (  ).‎ A. B. C. D. 解析 由5x2-7x-6=0得x=-或x=2.∴sin α=-.∴原式===.‎ 答案 B ‎6.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为(  )‎ A.1+ B.1- C.1± D.-1- 解析 由题意知:sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,‎ 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,‎ ‎∴=1+,解得:m=1±,又Δ=‎4m2‎-‎16m≥0,‎ ‎∴m≤0或m≥4,∴m=1-.‎ 答案 B[来源:Z&xx&k.Com]‎ 二、填空题 ‎7.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值是________.‎ 解析 1-2sin αcos α=(sin α-cos α)2=,‎ 又∵<α<,sin α>cos α.∴cos α-sin α=-.‎ 答案 - ‎8.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(2π-α)的值是________.‎ 解析 ∵sin(π-α)=log8,∴sin α=log232-2=-.‎ ‎∴cos(2π-α)=cos α==.‎ 答案  ‎9.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为________.‎ 解析 依题意得sin α-cos α=,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α+cos α)2+2=2,故(sin α+cos α)2=;又α∈,因此有sin α+cos α=,所以==-(sin α+cos α)=-.‎ 答案 - ‎10.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则tan θ的值为________.‎ 解析 法一:由sin θ+cos θ=两边平方得sin θ·cos θ=-,‎ 由sin θ·cos θ===-,‎ 解得tan θ=-或tan θ=-,‎ 由于θ∈(0,π),sin θcos θ<0,sin θ+cos θ>0,‎ ‎∴θ∈,|sin θ|>|cos θ|.‎ ‎∴|tan θ|>1.∴tan θ=-,舍去.‎ 故tan θ=-.‎ 法二:同法一得tan θ=-或tan θ=-,θ∈(0,π).‎ 当tan θ=-时,θ=,sin θ=,cos θ=-满足条件;‎ 当tan θ=-时,θ=,sin θ=,cos θ=-不满足sin θ+cos θ=,舍去,故tan θ=-.‎ 答案 - 三、解答题 ‎11.某学生在设计计算函数 f(x)=+的值的程序时,发现当sin x和cos x满足方程2y2-(+1)y+k=0时,无论输入任意实数k,f(x)的值都不变,你能说明其中的道理吗?这个定值是多少?[来源:Zxxk.Com]‎ 解 因为f(x)=+=+==sin x+cos x,又因为sin x,cos x是2y2-(+1)y+k=0的两根,‎ 所以sin x+cos x=,‎ 所以f(x)=sin x+cos x=,始终是个定值,与变量无关.这个定值是.‎ ‎12.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值:‎ ‎(1);(2)sin2α+sin 2α.‎ 解 法一 由sin(3π+α)=2sin,得tan α=2.‎ ‎(1)原式===-.‎ ‎(2)原式=sin2α+2sin αcos α= ‎==.‎ 法二 由已知得sin α=2cos α.‎ ‎(1)原式==-.‎ ‎(2)原式===.‎ ‎13.是否存在α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 假设存在角α,β满足条件,‎ 则由已知条件可得 由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.‎ ‎∴sin2α=,∴sin α=±.∵α∈,∴α=±.‎ 当α=时,由②式知cos β=,‎ 又β∈(0,π),∴β=,此时①式成立;‎ 当α=-时,由②式知cos β=,‎ 又β∈(0,π),∴β=,此时①式不成立,故舍去.‎ ‎∴存在α=,β=满足条件.‎ ‎14.已知函数f(x)=tan.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.‎ 解 (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z.所以f(x)的定义域为,f(x)的最小正周期为.‎ ‎(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,‎ =2(cos2α-sin2α),‎ 整理得=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).‎ 因为α∈,所以sin α+cos α≠0.‎ 因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.‎ 由α∈,得2α∈.所以2α=,即α=.‎