【数学】2021届一轮复习人教A版函数的奇偶性与周期性作业 4页

第3节 函数的奇偶性与周期性 ‎1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　 )‎ A．y＝－x3　　　　　　　 B．y＝2|x|‎ C．y＝x－2 D．y＝log3(－x)‎ 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]‎ ‎2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是(　　 )‎ A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)‎ C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)‎ 解析：D　[由偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)，‎ 因为f(x－1)＞0，则f(|x－1|)＞f(2)，‎ 即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是 ‎(－1,3)．故选D.]‎ ‎3．(2019·保定市一模)已知函数f(x)＝ 设g(x)＝，则g(x)是(　　)‎ A．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 B．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 C．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 D．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 解析：B　[根据题意，g(x)＝＝其定义域关于原点对称．‎ 设x＞0，则－x＜0，g(－x)＝－＝－＝－g(x)；设x＜0，则－x＞0，g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)为奇函数．又g(x)＝＝x－2在区间(0，＋∞)上递减，则g(x)在(－∞，0)上也递减．故选B.]‎ ‎4．(2019·合肥市模拟)已知函数f(x)＝是奇函数，则f(a)的值等于(　　 )‎ A．－ B．3‎ C．－或3 D.或3‎ 解析：C　[∵ f(x)是奇函数，∴f(－x)＝ ‎＝－，‎ 整理，得‎2a2－2＝0，∴a＝±1.‎ 当a＝1时，f(a)＝f(1)＝＝－；‎ 当a＝－1时，f(a)＝f(－1)＝＝3.故选C.]‎ ‎5．若函数f(x)＝ln (ax＋)是奇函数，则a的值为(　　 )‎ A．1　　B．－‎1　‎　　C．±1　　　D．0‎ 解析：C　[因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.]‎ ‎6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．‎ 解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．‎ 答案：f(1)>g(0)>g(－1)‎ ‎7．(2019·惠州市模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是________．‎ 解析：根据题意，有f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，又函数f(x)在R上为增函数，‎ f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥－f(1)，即f(2x＋1)≥f(－1)，所以2x＋1≥－1，解得x≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)．‎ 答案：[－1，＋∞)‎ ‎8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________.‎ 解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．‎ 答案：1　－1‎ ‎9．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解：‎ ‎(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，‎ 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．‎ 结合f(x)的图象知 所以1