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- 2021-07-01 发布
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随堂巩固训练(17)
1. 某商品的进货单价为40元/个，按单价每个50元售出，能卖出50个．若零售价在50元/个的基础上每上涨1元，其销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳零售价是__70__元/个．
解析：设最佳零售价为(50＋x)元/个，利润为y元，则y＝(50＋x－40)(50－x)＝－x2＋40x＋500＝－(x－20)2＋900(00)，则2p＝1，解得p＝，所以抛物线方程为x2＝－y.因为CD＝2x，所以点D的坐标为(x，－x2)，
等腰梯形的高为1－x2，所以S＝(1－x2)＝(x＋1)(1－x2)，0＜x＜1，求导可以得到当x＝时，S取最大值.
7. 某工厂引入一条生产线，投入资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w(x)，当年产量不足80千件时，w(x)＝x2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)＝51x＋－1 450(万元)，当每件商品的售价为500元时，该厂产品全部售完．
(1) 试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；
(2) 当年产量为多少千件时该厂的利润最大？
解析：(1) 当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额为0.05×1 000x＝50x(万元)．
当0＜x＜80时，L(x)＝50x－－250＝－x2＋40x－250；
当x≥80时，L(x)＝50x－(51x＋－1 450)－250＝1 200－，
故L(x)＝
(2) 当0＜x＜80时，L(x)＝－x2＋40x－250＝－(x－60)2＋950，
故当x＝60时，L(x)有最大值为950；
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000，
当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)有最大值为1 000，
故当年产量为100千件时，该厂的利润最大．
8. 如图，某市在海岛A上建了一个水产养殖中心．在海岸线l上有相距70千米的B、C两个小镇，并且AB＝30千米，AC＝80千米．已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每千米的运输费用之比为1∶2.
(1) 求sin∠ABC的大小；
(2) 设∠ADB＝θ，试确定θ的大小，使得运输总费用最少．
解析：(1) 在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝－，
所以sin∠ABC＝.
(2) 由(1)知sin∠DAB＝sin(θ＋∠ABD)＝－×sin θ＋cos θ，
在△ABD中，由正弦定理得＝＝，
解得AD＝，BD＝－.
设水路运输每百人每千米的费用为k元，则陆路运输每百人每千米的费用为2k元，
则运输总费用y＝(5CD＋3BD)×2k＋8k×AD＝20k.
令H(θ)＝，则H′(θ)＝.
当0＜θ＜时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；当＜θ＜时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增，
所以当θ＝时，H(θ)取最小值，同时y也取得最小值，
此时BD＝，满足0＜＜70，
故当θ＝时，运输总费用最少．
9. 如图，OM，ON是两条海岸线，Q为大海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON＝－3，OA＝6km，小岛Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km， km.现要在海岸线ON上再建一个码头B，使得水上旅游线路AB(直线)经过小岛Q.
(1) 求水上旅游线路AB的长；
(2) 若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，水波生成th时的半径为r＝3(其中00)．
由＝，
解得x0＝3或x0＝－5(舍去)，所以点Q(3，3)．
故直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0.
由得即点B(－3，9)，
所以AB＝＝9(km)．
故水上旅游线路AB的长为9 km.
(2) 由题意可得点P(3，9)，
当强水波生成t h时，游轮在线段AB上的点C处，
则AC＝18t，0≤t≤，所以点C(6－18t，18t)．
若强水波不会波及游轮的航行，即PC2>r2对t∈恒成立，
即PC2＝(18t－3)2＋(9－18t)2>r2＝9at恒成立．
当t＝0时，上式恒成立；
当t≠0，即t∈时，a<72t＋－48恒成立.
令g(t)＝72t＋－48，t∈，
所以g(t)＝72t＋－48≥24－48，
当且仅当t＝∈时等号成立，
所以当00，函数f(θ)单调递增；当θ∈时，f′(θ)<0，函数f(θ)单调递减，
所以当θ＝时，f(θ)取得最大值．
故当θ＝时，征地面积最大．
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