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- 2021-07-01 发布
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专题 02 复杂数列的求和问题
一.方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题, 数列的求和问题会渗透多种数思想,会跟其他知识进行
结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型
的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶
性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及,本讲就这类问
题进行分析.
二.解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例 1】【2018 届广东省中山市第一中高三月考】定义 为 个正数 , , ,
的 “ 均 倒 数 ” , 若 已 知 数 列 的 前 项 的 “ 均 倒 数 ” 为 , 又 , 则
( )
A. B. C. D.
所以 ,
故选 C.*
1 2 n
n
p p p+ +
n 1p 2p np
{ }na n 1
2 1n +
1
4
n
n
ab
+=
1 2 2 3 3 4 2017 2018
1 1 1 1
b b b b b b b b
+ + + + =
2015
2016
2016
2017
2017
2018
1
2017
1 2 2 3 3 4 2017 2018
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20171 12 2 3 2017 2018 2018 2018b b b b b b b b
+ + + + = − + − + + − = − =
【答案】C
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新
定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中
的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数知识,所以说“新
题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.
2.解决此类问题的一些技巧:
(1)此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣,层层递进”的特点,第(1)问让你熟悉所创设的定义与
背景,第(2),(3)问便进行进一步的应用,那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论,
因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点,找到突破口,第(2)(3)问便可寻找到
处理的思路
(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项,求和”的风格不同,但其根基也是我们所的一些基础知识与方法.
所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢,弄清本问所考察的与哪个知识点有关,以便找到一些线索.
(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则,以相对简单的情况入手,可能在解决的过程中会发现复杂情
况与该情况的联系,或者发现一些通用的做法与思路,使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】【2018 安徽省巢湖市柘皋中第三次月考】已知数列 的前 项和为 ,定义 为数
列 前 项的叠加和,若 2016 项数列 的叠加和为 2017,则 2017 项数列
的叠加和为( )
A. 2017 B. 2018 C. D.
故选 A.
【答案】A
类型二 子数列中的求和问题
【例 2】【河南省南阳市 2018 届高三上期期中质量评估】已知有穷数列 中, ,且
{ }na n nS
1
1 n
i
i
Sn =
∑
{ }na n 1 2 3 2016, , ,a a a a 1 2 20161, , ,a a a
22017 22018
{ }na 1,2,3, ,729n =
,从数列 中依次取出 构成新数列 ,容易发现数列 是以-3 为
首项,-3 为公比的等比数列,记数列 的所有项的和为 ,数列 的所有项的和为 ,则( )
A. B. C. D. 与 的大小关系不确定
【 解 析 】 因 为 ,
,所以 ,当 时, 是 中第 365 项,符合题意,
所以 ,所以 ,选 A. *
【答案】A
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题,关键在于弄清楚新的数列的形式,了解其求和方法.
【举一反三】【安徽省淮南市第二中、宿城第一中 2018 届高三第四次考试】已知 ,集合
,集合 的所有非空子集的最小元素之和为 ,则使得 的最小正整数
的值为( )
A. B. C. D.
∴ =S1+S2+S3+…+Sn= + 则 的最小正整数 为 13
故选 B*
【答案】B
类型三 奇偶性在数列求和中的应用
【例 3】【江苏省淮安中 2018 届高三数月考】已知函数 ,且 ,则
( )( ) 12 1 1 n
na n += − − { }na 2 5 14, , ,a a a { }nb { }nb
{ }na S { }nb T
S T> S T= S T< S T
( ) 7281 3 5 7 2 729 1 1 2 7292s = − + − + + × − = + × =
( )( ) ( )13 3 3 729 2 1n n
nb −= − − = − ≤ × − 6n ≤ 6n = 6 729b = na
( ) ( )( )
( )
63 1 3
5461 3T
− − −
= =− − S T>
*n N∈
1 3 5 2 1, , , ,2 4 8 2n n
nM
− = nM nT 80nT >
n
12 13 14 15
nT 2 1
2
n − 22 3 7 5 3 1...... 22 2 4 4 2
n n− −+ + + + =
2 1 802
n − > n
( ) ( )2cosf n n nπ= ( ) ( )1na f n f n= + +
__________.
【解析】 为偶数时, ; 为奇数时, ;
【答案】-100
【指点迷津】数列求和中遇到 , , 都会用到奇偶性,进行分类讨论.再采用分组转化法
求和或者并项求和的方法,即通过两个一组进行重新组合,将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和
的常见类型还有分段型(如 )及符号型(如 )
【举一反三】【黑龙江省大庆实验中 2018 届高三上期期中考试】设数列 的前 项和为 ,已知
, ,则 ______
【答案】240
类型四 周期性在数列求和中的应用
【例 4】【2018 陕西西安长安区五中二模】数列 满足 ,则数列 的前
100 项和为__________.
1 2 3a a a+ + + + 100a =
n ( )22 1 2 1na n n n= − + = − − n ( )22 1 2 1na n n n= − + + = +
1 2 3a a a+ + + + 100a = 3 5 7 9 199 201 2 50 100− + − + + − = − × = −
n)1(− πnsin πncos
,{ 2 ,n n
n na n
= 为奇数
为偶数
( ) 21 n
na n= −
{ }na n nS
2 2a = ( ) 1
2 1 1n
n na a−
+ + − = 40S =
{ }na 1 2 sin 1 22n n
na a n
π
+
= − +
{ }na
【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性,数列是定义域为正整数集或它的子集的函数,因此数列具有函
数的部分性质,本题观察到条件中有 ,于是考虑到三角函数的周期性,构造 ,周
期为 4,于是研究数列中依次 4 项和的之间的关系,发现规律,从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决
此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力,将抽象数列转化为等差或等比数列问题.
【举一反三】已知数列 满足 则该数列的前 项
的和为__________.
【解析】 为奇数时, ;
为偶数时, ;
所以 为奇数时有 ; 为偶数时 ;
即奇数项为等差数列,偶数项为等比数列. *
所以
.
【答案】
类型五 数列求和的综合问题
sin 2
nπ ( ) sin 2f n n
π= ⋅
{ }n
α 2 2
1 2 21, 2, 1 cos sin ,2 2n n
n na a a a
π π
+
= = = + + 21
n 2 2cos 0 sin 12 2
n nπ π= =,
n 2 2cos 1 sin 02 2
n nπ π= =,
n 2 1n na a+ = + n 2 2na n+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10
2 10 11
21 1 3 5 21 2 4 6 20
2 2 121 11S 1 2 3 11 2 2 2 6 11 2 2 21122 2 1a a a a a a a a
−×= + + + + + + + = + + + + + + + + = + = × + − =−
2112
【 例 5 】 【 2017 届 陕 西 省 西 安 市 铁 一 中 高 三 上 期 第 五 次 模 拟 】 数 列 满 足
,则 的整数部分是__________.
【答案】2
【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题,其中解答中涉及到数列的通项公式,数列的裂项求和,数
列的单调性的应用等知识点的综合应用,着重考查了生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,
试题有一定的难度,属于难题,本题的借助数列递推关系,化简数列为 ,再借助数列
的单调性是解答的关键.
【举一反三】【2017 福建外国语校高三月考】已知数列 满足 ( ),若
, ( , ),且 对于任意正整数 均成立,则数列 的前 2015 项和
的值为 .(用具体的数字表示)
{ }na
( )2 *
1 1
4 , 13 n n na a a a n N+= = − + ∈
1 2 2017
1 1 1
a a a
+ + +
1
1 1 1
1 1n n na a a+
= −− −
{ }nx 2 1| |n n nx x x+ += − *n N∈
1 1x = 2x a= 1a ≤ 0a ≠ 3n nx x+ = n { }nx 2015S
【答案】1344