【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-2两条直线的位置关系作业 6页

课时跟踪检测（四十七） 两条直线的位置关系 一、题点全面练 ‎1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)‎ A．(0,4)　　　　　　　　 B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ 解析：选B　由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.‎ ‎2．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)‎ A．(1,2) B.(2,1)‎ C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)‎ 解析：选C　设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．‎ ‎3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)‎ A．0 B.1‎ C．6 D．0或6‎ 解析：选C　由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，‎ 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.‎ 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，‎ 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6.‎ ‎4．(2018·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B.x＋y＋1＝0‎ C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0‎ 解析：选A　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A.‎ ‎5．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D．2 解析：选B　由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程．解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值为.‎ ‎6．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．‎ 解析：若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.‎ 答案：－1　1　2 ‎7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.‎ 解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得 故m＋n＝.‎ 答案： ‎8．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．‎ 解析：因为kAB＝＝－，kDC＝＝－.‎ kAD＝＝，kBC＝＝.‎ 则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ 又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，‎ 故四边形ABCD为矩形．‎ 故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25.‎ 答案：25‎ ‎9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．‎ 解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.‎ 设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)，‎ 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离 d＝＝，‎ 解得m＝－5(舍去)或m＝7，‎ 所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0.‎ 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是 ‎3x－y＋n＝0，‎ 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离 d＝＝，解得n＝－3或n＝9，‎ 所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.‎ ‎10．已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，解得k＝.‎ 此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．‎ 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，‎ 因为kOP＝－，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．(2019·青岛模拟)直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为(　　)‎ A．3或－1 B.0或3‎ C．0或－1 D．－1或0或3‎ 解析：选C　两直线无公共点，即两直线平行．当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.‎ ‎2．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)‎ A．1条 B.2条 C．3条 D．4条 解析：选C　当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.‎ ‎3．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．‎ 解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ 答案：x＋2y－3＝0‎ ‎4．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为______________________．‎ 解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1‎ ‎5．在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．‎ 解析：易知直线l经过定点(1，－2)，则点P到直线l的最大距离为＝5，最小距离为0，所以d的取值范围是[0,5]．‎ 答案：[0,5]‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎6．[与导数交汇]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A. B.1‎ C. D．2‎ 解析：选C　因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选C.‎ ‎7.[与不等式交汇]如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．‎ 解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．‎ ‎∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.‎ Rt△ABC的面积S＝· ‎＝· ＝ ‎≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．‎ 答案：6‎ ‎8．[与物理知识交汇]如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．‎ 解析：从特殊位置考虑．如图所示，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD＞，即kFD∈(4，＋∞)．‎ 答案：(4，＋∞)‎