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- 2021-07-01 发布
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2020届人教A版(理科数学) 直线的方程及应用 单元测试
1.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=x+ D.y=-x+2
解析:选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,
所以直线l的方程为y=x+2.
2.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10 B.-2
C.0 D.8
解析:选A.因为l1∥l2,所以kAB==-2.
解得m=-8.
又因为l2⊥l3,所以-×(-2)=-1,
解得n=-2,所以m+n=-10.
3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
A.-1<k< B.k>1或k<
C.k>或k<1 D.k>或k<-1
解析:选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),
令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,
则-3<1-<3,解得k>或k<-1.
4.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为( )
A. B.-
C.2 D.-2
解析:选A.直线y=2x+3与y=-x的交点为A(-1,1),而直线y=2x+3上的点(0,3)关于y=-x的对称点为B(-3,0),而A,B两点都在l2上,所以kl2==.
5.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )
解析:选C.因为x<0时,ax>1,所以0<a<1.
则直线y=ax+的斜率为0<a<1,
在y轴上的截距>1.故选C.
6.(2018·江西南昌二中月考)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
解析:选B.易知直线ax+y+2=0过定点P(0,-2),kPA=-,kPB=,设直线ax+y+2=0的斜率为k,若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,根据图象(图略)可知-<k<,即-<-a<,解得-<a<,故选B.
7.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2].
答案:[-2,2]
8.已知一直线经过点(1,2),并且与点(2,3)和(0,-5)的距离相等,则此直线的方程为________.
解析:若所求直线的斜率存在,则可设其方程为:
y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
由题设有=,
即|k-1|=|k-7|,解得k=4.
此时直线方程为4x-y-2=0.
若所求直线的斜率不存在,方程为x=1,
满足题设条件.
故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1.
答案:4x-y-2=0或x=1
9.(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=________.
解析:由题可知纸的折痕垂直平分点(0,2)与点(4,0)的连线,可得折痕所在直线为y=2x-3,又折痕也垂直平分点(7,3)与点(m,n)的连线,于是
解得所以m+n=.
答案:
10.点P为直线y=x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则||PF1|-|PF2||的取值范围为________.
解析:由题意,P在原点时,||PF1|-|PF2||=0,
F2(5,0)关于直线y=x对称点的坐标为F(a,b),则所以a=,b=,
所以||PF1|-|PF2||的最大值为
=8,
所以||PF1|-|PF2||的取值范围为[0,8].
答案:[0,8]
11.在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1<m<4),C(4,2),则当△ABC的面积最大时,m=( )
A. B.
C. D.
解析:选B.由两点间距离公式可得|AC|=,
直线AC的方程为x-3y+2=0,
所以点B到直线AC的距离d=,
从而△ABC的面积
S=|AC|d=|m-3+2|=
又1<m<4,所以1<<2,所以当=,
即m=时,S取得最大值.
12.(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
A.(-2,4) B.(-2,-4)
C.(2,4) D.(2,-4)
解析:选C.设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得
所以BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线方程为y-2=·(x+4),即x-3y+10=0.联立得解得则C(2,4).故选C.
13.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
解析:选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3).
直线x+y+1=0的斜率为-1,且直线l与该直线垂直,故直线l的斜率为1.即直线l是过点(0,3),斜率为1的直线,用点斜式表示为y-3=x,即x-y+3=0.
14.(2018·宁夏银川九中月考)若直线l:+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是________.
解析:直线l:+=1(a>0,b>0)在x轴,y轴上的截距之和为a+b,∵直线l经过点(1,2),∴+=1,∴a+b=(a+b)=3+
+≥3+2,当且仅当b=a时等号成立,∴直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3+2.
答案:3+2
15.(2018·安徽蚌埠质检)在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),直线l:a(x-1)+b(y+2)=0(a,b∈R且不同时为零),若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是________.
解析:易知直线l经过定点(1,-2),则点P到直线l的最大距离为=5,最小距离为0,所以d的取值范围是[0,5].
答案:[0,5]
16.(2018·湖南岳阳模拟)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为________.
解析:因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,所以=3,解得m=0,所以a+c=2,则+=(a+c)·=≥=,当且仅当c=2a=时取等号.故+的最小值为.
答案: