【数学】2020届一轮复习人教B版（文）8-7抛物线作业 7页

课时作业49　抛物线 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝4x　　B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 解析：因为抛物线y2＝2px，所以准线为x＝－.‎ 因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，‎ 所以＝4，所以p＝4，‎ 所以抛物线的标准方程为y2＝8x.‎ 答案：C ‎2．[2019·广东珠海模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.‎ 答案：B ‎3．[2019·福州质量检测]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D.若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝(　　)‎ A．1 B．3‎ C．3或9 D．1或9‎ 解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，依题意，易证BD∥x轴，所以D与B1重合．由已知条件|BE|＝2|BF ‎|得，|BE|＝2|BB1|，所以∠BEB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，‎ 如图1，＝，所以＝，解得|BD|＝1，‎ 如图2，＝，所以＝，解得|BD|＝9.‎ 综上，|BD|为1或9，故选D.‎ 答案：D ‎4．[2019·河南百校联盟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：不妨设M(m，)(m>0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.故选A.‎ 答案：A ‎5．[2019·湖南岳阳模拟]若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于(　　)‎ A．5p B．10p C．11p D．12p 解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p，‎ ‎∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．[2019·长沙市，南昌市部分学校联合模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P‎1F|＋|P‎2F|＋…＋|P2 ‎017F|＝________.‎ 解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068.‎ 答案：8 068‎ ‎7．[2019·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.‎ 解析：解法一　由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)．由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|＝.‎ 解法二　‎ 如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝.‎ 答案： ‎8．[2019·合肥质量检测]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂直PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．‎ 解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，‎ 则⇒或(舍去)．所以点P的坐标为(4,4)．‎ 答案：(4,4)‎ 三、解答题 ‎9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．‎ 解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，‎ ‎∴p＝‎2c.‎ 设抛物线方程为y2＝4c·x，‎ ‎∵抛物线过点，‎ ‎∴6＝‎4c·.‎ ‎∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.‎ 又双曲线－＝1过点，‎ ‎∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，‎ ‎∴－＝1.‎ ‎∴a2＝或a2＝9(舍去)．‎ ‎∴b2＝，‎ 故双曲线方程为－＝1.‎ ‎10．[2017·全国卷Ⅰ]设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ 解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋7.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·湖北联考]已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.‎ 答案：D ‎12．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，‎ 联立直线与抛物线的方程，得 解得或 不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．‎ 又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．‎ ‎∴·＝0×3＋2×4＝8.‎ 故选D.‎ 答案：D ‎13．[2018·全国卷Ⅲ]已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.‎ 解析：解法一　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝.‎ 设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，‎ 则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)‎ ‎＝(|AA′|＋|BB′|)．‎ ‎∵M′(x0，y0)为AB中点，‎ ‎∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，‎ ‎∴y1＋y2＝2，∴k＝2.‎ 解法二　由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝.‎ 由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)．‎ 由∠AMB＝90°，得·＝0，‎ ‎∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，‎ ‎∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.‎ 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，‎ ‎∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，‎ 整理得－＋1＝0，解得k＝2.‎ 答案：2‎