【数学】2020届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和课时作业 5页

‎29　等差数列及其前n项和 ‎1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.27 C.54 D.108‎ 答案B 解析S9==27.‎ ‎2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)‎ A. B. C.10 D.12‎ 答案B 解析∵公差d=1,S8=4S4,∴,‎ 即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=.‎ ‎∴a10=a1+9d=+9=.‎ ‎3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)‎ A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ 答案B 解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.‎ ‎3．[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)‎ A．15 B．30‎ C．31 D．64‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A.‎ 答案：A ‎4．[2019·武汉高中调研测试]在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝(　　)‎ A．7 B．9‎ C．14 D．18‎ 解析：解法一　因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3‎ ‎＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.‎ 解法二　设等差数列{an}的公差为d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以7a1＋d－(2a1＋d)＝45，整理得a1＋4d＝9，所以a5＝9，故选B.‎ 答案：B ‎5．[2019·湖南衡阳模拟]在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)‎ A．6 B．12‎ C．24 D．48‎ 解析：∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故选D.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝________.‎ 解析：∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，∴解得a1＝1，d＝，∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.‎ 答案：9‎ ‎7．[2019·河南濮阳模拟]已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为________．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得 ‎∴中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4×＝.‎ 答案： ‎8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________．‎ 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①‎ an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②‎ ‎①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，‎ 又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.‎ 答案：18‎ 三、解答题 ‎9．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ 解析：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.‎ 由a1＝－7得d＝2.‎ 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.‎ 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.‎ ‎10．[2019·山东济南一中检测]各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析：(1)依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，‎ 可得＋＝，故数列是等差数列，‎ 设数列的公差为d.‎ 因为a3＝2a8＝，‎ 所以＝5，＝10，‎ 所以－＝5＝5d，即d＝1.‎ 故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，‎ 故an＝.‎ ‎(2)由(1)可知bn＝＝·＝，‎ 故Sn＝－＋－＋…＋－＝.‎ ‎11．[2019·河南信阳模拟]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱(　　)‎ A. B. C. D. 解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.‎ 答案：C ‎12．[2019·江西赣中南五校联考]在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1、S2、…、S9中最小的是(　　)‎ A．S5 B．S6‎ C．S7 D．S8‎ 解析：在等差数列{an}中，‎ ‎∵a3＋a8>0，S9<0，‎ ‎∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，‎ ‎∴a5<0，a6>0，‎ ‎∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，‎ 故选A.‎ 答案：A ‎13．[2019·南昌重点高中模拟]记Sn为正项数列{an}的前n项和，且an＋1＝2，则S2 018＝________.‎ 解析：依题意， 4Sn＝(an＋1)2，当n＝1时，4a1＝(a1＋1)2，a1＝1，当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，两式相减得a－a－2(an＋an－1)＝0，所以(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又an>0，所以an－an－1＝2，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，S2 018＝＝2 0182.‎ 答案：2 0182‎