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- 2021-07-01 发布
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29 等差数列及其前n项和
1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于( )
A. B.27 C.54 D.108
答案B
解析S9==27.
2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )
A. B. C.10 D.12
答案B
解析∵公差d=1,S8=4S4,∴,
即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=.
∴a10=a1+9d=+9=.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
答案B
解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
3.[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )
A.15 B.30
C.31 D.64
解析:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a5=3,∴3a4=3,即a1+3d=1,又由a8=8得a1+7d=8,联立解得a1=-,d=,则a12=-+×11=15.故选A.
答案:A
4.[2019·武汉高中调研测试]在等差数列{an}中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5=( )
A.7 B.9
C.14 D.18
解析:解法一 因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以a3
+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B.
解法二 设等差数列{an}的公差为d,因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以7a1+d-(2a1+d)=45,整理得a1+4d=9,所以a5=9,故选B.
答案:B
5.[2019·湖南衡阳模拟]在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为( )
A.6 B.12
C.24 D.48
解析:∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,∴由等差数列的性质可得a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.故选D.
答案:D
二、填空题
6.[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7=________.
解析:∵在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,∴解得a1=1,d=,∴a7=a1+6d=1+8=9.
答案:9
7.[2019·河南濮阳模拟]已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意得解得
∴中间一项为a5=a1+4d=+4×=.
答案:
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.
解析:由题意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,
又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.
答案:18
三、解答题
9.[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解析:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.
(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
10.[2019·山东济南一中检测]各项均不为0的数列{an}满足=an+2an,且a3=2a8=.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的通项公式为bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
解析:(1)依题意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,两边同时除以anan+1an+2,
可得+=,故数列是等差数列,
设数列的公差为d.
因为a3=2a8=,
所以=5,=10,
所以-=5=5d,即d=1.
故=+(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,
故an=.
(2)由(1)可知bn==·=,
故Sn=-+-+…+-=.
11.[2019·河南信阳模拟]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得________钱( )
A. B.
C. D.
解析:甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1,a2,a3,a4,a5,设公差为d,由题意知a1+a2=a3+a4+a5=,即解得故甲得钱,故选C.
答案:C
12.[2019·江西赣中南五校联考]在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是( )
A.S5 B.S6
C.S7 D.S8
解析:在等差数列{an}中,
∵a3+a8>0,S9<0,
∴a5+a6=a3+a8>0,S9==9a5<0,
∴a5<0,a6>0,
∴S1、S2、…、S9中最小的是S5,
故选A.
答案:A
13.[2019·南昌重点高中模拟]记Sn为正项数列{an}的前n项和,且an+1=2,则S2 018=________.
解析:依题意, 4Sn=(an+1)2,当n=1时,4a1=(a1+1)2,a1=1,当n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2,两式相减得a-a-2(an+an-1)=0,所以(an-an-1-2)(an+an-1)=0.又an>0,所以an-an-1=2,{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1,S2 018==2 0182.
答案:2 0182