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  • 2021-07-01 发布

湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练:立体几何

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湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、(荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考)如图,在正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )‎ A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值 C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值 ‎2、(华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为 A. B.   C.  D. ‎ ‎3、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”。现有一个羡除如图所示,DA⊥平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=AD=4,EF=8,E到面ABCD的距离为6,则这个羡除体积是 ‎ A. 96   B. ‎72 ‎  C. 64    D.58‎ ‎4、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)‎ 已知等边三角形ABC的边长为8,D为BC边的中点,沿AD将△ABC折成直二面角B-AD-C, 则三棱锥A-DCB的外接球的表面积为    ‎ ‎5、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次(3月)联考)如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6、(荆门市2019届高三元月调研)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ‎ ‎7、(荆门市2019届高三元月调研)两个半径都是的球和球相切,且均与直二面角的两个半平面都相切,另有一个半径为的小球与这二面角的两个半平面也都相切,同时与球和球都外切,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎8、(七市(州)教研协作体2019届高三3月联考)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的外接球的体积为 ‎ A、  B、  C、  D、‎ ‎9、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)在棱长为1的正方体中,点关于平面的对称点为,则到平面的距离为 .‎ ‎11、(武汉市2019届高中毕业生四月调研)已知两个平面相互垂直,下列命题 ‎①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ‎②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ‎③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ‎④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎12、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n ‎ C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β ‎13、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( )‎ A. B.      C.32      D.48‎ ‎14、(湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试)将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角,已知直角边,那么下面说法正确的是( )‎ A.平面平面 B.四面体的体积是 C.二面角的正切值是 D.与平面所成角的正弦值是 ‎15、(宜昌市(东湖高中、宜都二中)2019届高三12月联考)设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是( )‎ A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎16、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)已知点P为半径等于2的球O球面上一点,过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E,圆E的内接△ABC中,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值为   .‎ ‎17、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 参考答案:‎ ‎1、B 2、C 3、C 4、 5、C ‎6、A 7、D 8、C 9、B 10、‎ ‎11、C 12、B 13、A 14、C 15、D ‎16、解:如图,点P为半径等于2的球O球面上一点,‎ 过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E,‎ 圆E的内接△ABC中,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,‎ 由题意,PE=OE=1,‎ ‎∴AE=CE=,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°,‎ 过B作BD⊥AC于D,设AD=x,则CD=2﹣x,‎ 再设BD=y,由△BDC∽△ADB,可得=,‎ ‎∴y=,则=,‎ 令f(x)=﹣x4+2,则,‎ 由f′(x)=0,可得x=,‎ ‎∴当x=时,f(x)max=,‎ ‎∴△ABD面积的最大值为×=,‎ 则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是.‎ 故答案为:.‎ ‎17、B 二、解答题 ‎1、(荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,‎ 平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=. ‎ ‎(1)求证:PB=PD;‎ ‎(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,‎ 则在线段BC上是否存在一点 H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎2、(鄂州市2019届高三上学期期中考试)如图1,在直角中,,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎3、(华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB = BC =1,.CD=2,点E为CD中点,以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCD).‎ ‎(1)证明:AE丄PB;‎ ‎(2)若直线PB与平面所成的角为,求二面角A-PE-C的余弦值.‎ ‎4、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)在如图所示的多面体中,平面ABB‎1A1⊥平面ABCD,四边形ABB‎1A1是 边长为2的菱形,四边形ABCD为直角梯形,四边形BCC1B1为平行四边形,且AB∥CD,AB⊥BC,CD=1‎ ‎ (1)若E,F分别为A‎1C,BC1的中点,求证:EF⊥平面AB‎1C1;‎ ‎ (2)若∠A1AB=60°,AC1与平面ABCD所成角的正弦值,求二面角A1-AC1-D的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎5、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次(3月)联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=1,AD=2,CD=.‎ ‎ (Ⅰ)求证:平面PQB⊥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ)若M是棱PC上的一点,且满足,求二面角M-BQ-C的大小.‎ ‎6、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次(12月)联考)如图所示,四棱锥中,,四边形为等腰梯形,,为的中点.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)求面与平面所成的二面角的正弦值.‎ ‎7、(荆门市2019届高三元月调研)如图(1),梯形中,,过、分别作,,垂足分别为.,已知,将梯形沿、同侧折起,得空间几何体,如图(2).‎ ‎(Ⅰ)若,证明:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,线段上存在一点,满足与平面所成角的正弦值为,求的长.‎ ‎8、(七市(州)教研协作体2019届高三3月联考)如图, 在四棱锥P - ABCD 中, ABCD 为平行四边形, AB ^ AC , PA ^ 平面 ABCD,且 PA = AB = 3 , AC = 2 , 点 E 是 PD 的中点.‎ ‎( 1) 求证: PB // 平面 AEC ;‎ ‎( 2) 在线段 PB 上( 不含端点) 是否存在一点 M ,使得二面角 M - AC - E 的余弦值为? 若存在, 确定 M 的位置; 若不存在, 请说明理由.‎ ‎9、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)如图,已知四边形为梯形,为矩形,平面平面,又.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎10、(武汉市2019届高中毕业生四月调研)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,,,且平面平面.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值. ‎ ‎11、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)如图l,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC=6;如图2,将图l中△DAC沿AC折起,使得点D在面ABC上的正投影G在△ABC内部,点E为AB的中点,连接DB,DE,三棱锥D一ABC的体积为12.对于图2的几何体:‎ ‎(l)求证:DE⊥AC;‎ ‎(2)求DB与面DAC所成角的余弦值.‎ ‎12、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)如图,三棱柱中,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎13、(湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试)如图,在四棱锥中,平面,,且,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理 由.‎ ‎14、(荆门市第一中学2019届高三8月月考)如图,梯形中,,平面 平面.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若,求与平面所成 ‎ 角的正弦值.‎ ‎15、(华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考)如图,四边形与均为菱形,,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 参考答案:‎ ‎1、解:(1)证明:记AC∩BD=O,连结PO,‎ ‎∵底面ABCD为正方形,∴OA=OC=OB=OD=2.‎ ‎∵PA=PC,∴PO⊥AC,‎ ‎∵平面PAC∩底面ABCD=AC,POÌ平面PAC,‎ ‎∴PO⊥底面ABCD.‎ ‎∵BDÌ底面ABCD,∴PO⊥BD. ‎ ‎∴PB=PD. …………6分 ‎(2)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知OP=2.‎ 可得P(0,0,2),A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),‎ 可得,M(0,-1,1), N(0,1, 1).,.‎ 设平面的法向量n=,‎ ‎∵,,∴‎ 令,可得n=.‎ 记,可得,‎ ‎,=0,可得,,解得.‎ 可得,.‎ 记,可得,‎ ‎,若DQ⊥PH,则,‎ ‎,解得.故.…………12分 另:取的中点,说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.‎ ‎2、(1)证明:由条件可知,而为的中点,,……………………2分 又面面,面面,且,平面……4分 又因为平面,. ……………………………………………………6分 ‎(2)由(1)可知,两两相互垂直,如图建立空间直角坐标系,则:‎ ‎……………………………7分 易知面的法向量为,………………………………………………………8分 设平面的法向量为,则:,易得…………………10分 设平面与平面所成锐二面角为,则………………12分 ‎3、‎ ‎4、【解析】(1)连接,∵四边形为菱形,∴.‎ ‎∵平面平面,平面平面,平面,,‎ ‎∴平面.又平面,∴.‎ ‎∵,∴.∵,∴平面.‎ ‎∵分别为,的中点,∴,∴平面.……5分 ‎(2)方法一:设,由(1)得平面,‎ 由,,得,.‎ 过点作,与的延长线交于点,取的中点,连接,,‎ 如图所示,‎ 又,∴为等边三角形,∴,‎ 又平面平面,平面平面,平面,‎ 故平面.‎ ‎∵为平行四边形,∴,∴平面.‎ 又∵,∴平面.‎ ‎∵,∴平面平面.‎ 由(1),得平面,∴平面,∴.‎ ‎∵,∴平面,∴是与平面所成角.‎ ‎∵,,∴平面,平面,∵,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎∴,,解得.……8分 在梯形中,易证,‎ 分别以,,的正方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,,,‎ 由,及,得,‎ ‎∴,,.‎ 设平面的一个法向量为,由得,‎ 令,得 设平面的一个法向量为,由得,‎ 令,得.∴,‎ 又∵二面角是钝角,∴二面角的余弦值是.……12分 ‎(2)方法二:以AB中点为原点建立如图空间直角坐标系,设BC=t,‎ 则,,,,‎ 平面ABCD的法向量n=(0,0,1), 解得,∴,,.下同解法一 ‎5、‎ ‎6、(1)‎ ‎∵∴ 又∵‎ ‎∴∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ………………4分 又∵ ∴ ………………6分 ‎(2),, ‎ ‎ ,‎ ‎, ………………8分 ‎∴………………12分 ‎7、解:(Ⅰ)证明:由已知得四边形ABFE是正方形,且边长为2,在图2中,AF⊥BE,‎ 由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,∴AF⊥平面BDE………………………………2分 又DE⊂平面BDE,∴AF⊥DE,‎ 又AE⊥DE,AE∩AF=A,∴DE⊥平面ABFE,……………………………………5分 ‎(Ⅱ)在图2中,AE⊥DE,AE⊥EF,DE∩EF=E,即AE⊥面DEFC,‎ 在梯形中,过点作//交于点,连接,‎ 易得,,则DC⊥CF,则, ,‎ 过E作EG⊥EF交DC于点G,可知GE,EA,EF两两垂直,以E为坐标原点,以 分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,………………7分 则 设平面ACD的一个法向量为,‎ 由得取得 设,则,得 设CP与平面ACD所成的角为 所以.…………………………………………12分 ‎8、解: (1)连接 BD 交 AC 于 F 点, 连接 EF ,‎ 在 DPBD 中, EF // PB , ……………………………………2 分 又 EF Ì 面AEC,PB Ë 面AEC PB //面AEC . ………………………………………4 分 ‎( 2)由题意知, AC,AB,AP 两两互相垂直,如图以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标 系,‎ 射线 AC,AB,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .‎ ‎9、解法一:(1)为矩形,且平面平面,‎ 平面平面,在中,,‎ 在梯形中,,从而.‎ 在中,,可知,‎ 在中,,可知,‎ 又,‎ 平面,又平面.……………………………………6分 ‎(2)取的中点,连接,由知,‎ 由知,为二面角的平面角.‎ 由(1)知平面,,又,‎ ‎,.‎ 解法二:(1)为矩形,且平面平面,平面,又,所以可以以为原点建立如图所示空间直角坐标系,则 ‎,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ 设平面的法向量为,则 ,令,得.‎ 设平面的法向量为,则,令,得.‎ ‎,‎ 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎10、【解答】‎ ‎(2)解析2:面,设二面角的平面角为,‎ ‎ ,,到距离为,‎ ‎ 二面角的平面角为,‎ ‎11、证明:(1)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥CD,AB=2AD=2DC=6,‎ 在图1中作AB的中点E,在图1、图2中,取AC的中点F,‎ 连结DF、CE、EF,则△DAC,△EAC均为等腰直角三角形,‎ AC⊥DF,AC⊥EF,又DF∩EF=F,∴AC⊥面DEF,‎ 又DE⊂面DEF,∴DE⊥AC.‎ 解:(2)∵DG⊥面ABC,∴DG⊥AG,DG⊥GC,‎ ‎∵DA=DC,∴GA=GC,∴G在AC的中垂线上,‎ ‎∴EG垂直平分AC,‎ 又F为AC中点,∴E,F,G共线,‎ ‎∵AB=2AD=2DC=6,∴△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎==18,‎ ‎==12,‎ 解得DG=2,‎ 在等腰直角△DAC和等腰直角△EAC中,‎ EF=DF==3,‎ 在Rt△DGF中,GF===1,‎ 以G为原点,过G为z轴,GM、GE、GD所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A(3,﹣1,0),B(﹣3,5,0),C(﹣3,﹣1,0),D(0,0,2),‎ 则=(﹣3,5,﹣2),=(3,﹣1,﹣2),=(﹣3,﹣1,﹣2),‎ 设面DAC的法向量=(x,y,z),‎ 则,令z=1,则=(0,﹣2,1),‎ cos<>==﹣,‎ ‎∴DB与面DAC所成角的余弦值为=.‎ ‎12、解析:(1)记,连结.因为,所以.‎ 由题意知为正三角形,求得,在中求得,又,‎ 所以,所以.因为,所以平面.‎ 因为平面,所以平面平面.………………………………6分 ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则,‎ ‎.‎ 因为平面,所以平面的法向量为.‎ 设平面的法向量为,则,取,则,‎ 所以.‎ 所以,因为所求二面角的平面角为钝角,‎ 所以所求二面角的余弦值为.………………………………………………12分 ‎13、【解析】(1)证明:如图,由已知得四边形是直角梯形,‎ 由已知,‎ 可得是等腰直角三角形,即,‎ 又平面,则,‎ 又,所以平面,‎ 所以; ‎ ‎(2)建立如图所示空间直角坐标系,则 设,则的坐标为设是平面的一个法向量,则 ‎,得,则可取 又是平面的一个法向量,‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎14、【解析】(1)证明:∵平面⊥平面,平面∩平面=,平面,,∴⊥平面. 又平面,∴平面⊥平面. ‎ ‎(2)设,∵四边形为等腰梯形,⊥,=2=,‎ ‎∴ ,,∵且,∴四边形为平行四边形,‎ ‎∴,且,又∵⊥平面,∴⊥平面. ‎ 以为原点,向量的方向分别为x轴,y轴, z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,,,, ‎ 设平面DFC的一个法向量为,‎ 有,即,不妨设,得.取, ‎ 于是. 设与平面所成角为,则.‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为.‎ ‎15、解析:(1)设与相交于点,连接,‎ ‎∵四边形为菱形,∴,且为中点,‎ ‎∵,∴,‎ 又,∴平面.…………………5分 ‎(2)连接,∵四边形为菱形,且,∴为等边三角形,‎ ‎∵为中点,∴,又,∴平面.‎ ‎∵两两垂直,∴建立空间直角坐标系,如图所示,………7分 设,∵四边形为菱形, ,∴. ‎ ‎∵为等边三角形,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为,则,‎ 取,得.设直线与平面所成角为,………10分 则. …………………12分 注:用等体积法求线面角也可酌情给分