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- 2021-07-01 发布
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湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
立体几何
一、选择、填空题
1、(荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考)如图,在正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )
A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值
C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值
2、(华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为
A. B. C. D.
3、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”。现有一个羡除如图所示,DA⊥平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=AD=4,EF=8,E到面ABCD的距离为6,则这个羡除体积是
A. 96 B. 72 C. 64 D.58
4、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)
已知等边三角形ABC的边长为8,D为BC边的中点,沿AD将△ABC折成直二面角B-AD-C, 则三棱锥A-DCB的外接球的表面积为
5、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次(3月)联考)如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为
A. B. C. D.
6、(荆门市2019届高三元月调研)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
7、(荆门市2019届高三元月调研)两个半径都是的球和球相切,且均与直二面角的两个半平面都相切,另有一个半径为的小球与这二面角的两个半平面也都相切,同时与球和球都外切,则的值为
A. B. C. D.
8、(七市(州)教研协作体2019届高三3月联考)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的外接球的体积为
A、 B、 C、 D、
9、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)在棱长为1的正方体中,点关于平面的对称点为,则到平面的距离为 .
11、(武汉市2019届高中毕业生四月调研)已知两个平面相互垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
12、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β
13、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( )
A. B. C.32 D.48
14、(湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试)将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角,已知直角边,那么下面说法正确的是( )
A.平面平面 B.四面体的体积是
C.二面角的正切值是 D.与平面所成角的正弦值是
15、(宜昌市(东湖高中、宜都二中)2019届高三12月联考)设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
16、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)已知点P为半径等于2的球O球面上一点,过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E,圆E的内接△ABC中,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值为 .
17、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
1、B 2、C 3、C 4、 5、C
6、A 7、D 8、C 9、B 10、
11、C 12、B 13、A 14、C 15、D
16、解:如图,点P为半径等于2的球O球面上一点,
过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E,
圆E的内接△ABC中,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,
由题意,PE=OE=1,
∴AE=CE=,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°,
过B作BD⊥AC于D,设AD=x,则CD=2﹣x,
再设BD=y,由△BDC∽△ADB,可得=,
∴y=,则=,
令f(x)=﹣x4+2,则,
由f′(x)=0,可得x=,
∴当x=时,f(x)max=,
∴△ABD面积的最大值为×=,
则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是.
故答案为:.
17、B
二、解答题
1、(荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,
平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=.
(1)求证:PB=PD;
(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,
则在线段BC上是否存在一点 H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,
若不存在,请说明理由.
2、(鄂州市2019届高三上学期期中考试)如图1,在直角中,,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
3、(华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB = BC =1,.CD=2,点E为CD中点,以AE为折痕把△ADE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCD).
(1)证明:AE丄PB;
(2)若直线PB与平面所成的角为,求二面角A-PE-C的余弦值.
4、(黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考)在如图所示的多面体中,平面ABB1A1⊥平面ABCD,四边形ABB1A1是 边长为2的菱形,四边形ABCD为直角梯形,四边形BCC1B1为平行四边形,且AB∥CD,AB⊥BC,CD=1
(1)若E,F分别为A1C,BC1的中点,求证:EF⊥平面AB1C1;
(2)若∠A1AB=60°,AC1与平面ABCD所成角的正弦值,求二面角A1-AC1-D的余弦值.
5、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次(3月)联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=1,AD=2,CD=.
(Ⅰ)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)若M是棱PC上的一点,且满足,求二面角M-BQ-C的大小.
6、(黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次(12月)联考)如图所示,四棱锥中,,四边形为等腰梯形,,为的中点.
(1)求证:.
(2)求面与平面所成的二面角的正弦值.
7、(荆门市2019届高三元月调研)如图(1),梯形中,,过、分别作,,垂足分别为.,已知,将梯形沿、同侧折起,得空间几何体,如图(2).
(Ⅰ)若,证明:⊥平面;
(Ⅱ)若,,线段上存在一点,满足与平面所成角的正弦值为,求的长.
8、(七市(州)教研协作体2019届高三3月联考)如图, 在四棱锥P - ABCD 中, ABCD 为平行四边形, AB ^ AC , PA ^ 平面 ABCD,且 PA = AB = 3 , AC = 2 , 点 E 是 PD 的中点.
( 1) 求证: PB // 平面 AEC ;
( 2) 在线段 PB 上( 不含端点) 是否存在一点 M ,使得二面角 M - AC - E 的余弦值为? 若存在, 确定 M 的位置; 若不存在, 请说明理由.
9、(武汉市2019届高中毕业生二月调研)如图,已知四边形为梯形,为矩形,平面平面,又.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
10、(武汉市2019届高中毕业生四月调研)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,,,且平面平面.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
11、(武汉市2019届高中毕业生五月训练题)如图l,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC=6;如图2,将图l中△DAC沿AC折起,使得点D在面ABC上的正投影G在△ABC内部,点E为AB的中点,连接DB,DE,三棱锥D一ABC的体积为12.对于图2的几何体:
(l)求证:DE⊥AC;
(2)求DB与面DAC所成角的余弦值.
12、(武汉市武昌区2019届高三元月调研)如图,三棱柱中,.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
13、(湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试)如图,在四棱锥中,平面,,且,.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理 由.
14、(荆门市第一中学2019届高三8月月考)如图,梯形中,,平面 平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求与平面所成
角的正弦值.
15、(华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考)如图,四边形与均为菱形,,且.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案:
1、解:(1)证明:记AC∩BD=O,连结PO,
∵底面ABCD为正方形,∴OA=OC=OB=OD=2.
∵PA=PC,∴PO⊥AC,
∵平面PAC∩底面ABCD=AC,POÌ平面PAC,
∴PO⊥底面ABCD.
∵BDÌ底面ABCD,∴PO⊥BD.
∴PB=PD. …………6分
(2)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知OP=2.
可得P(0,0,2),A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得,M(0,-1,1), N(0,1, 1).,.
设平面的法向量n=,
∵,,∴
令,可得n=.
记,可得,
,=0,可得,,解得.
可得,.
记,可得,
,若DQ⊥PH,则,
,解得.故.…………12分
另:取的中点,说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.
2、(1)证明:由条件可知,而为的中点,,……………………2分
又面面,面面,且,平面……4分
又因为平面,. ……………………………………………………6分
(2)由(1)可知,两两相互垂直,如图建立空间直角坐标系,则:
……………………………7分
易知面的法向量为,………………………………………………………8分
设平面的法向量为,则:,易得…………………10分
设平面与平面所成锐二面角为,则………………12分
3、
4、【解析】(1)连接,∵四边形为菱形,∴.
∵平面平面,平面平面,平面,,
∴平面.又平面,∴.
∵,∴.∵,∴平面.
∵分别为,的中点,∴,∴平面.……5分
(2)方法一:设,由(1)得平面,
由,,得,.
过点作,与的延长线交于点,取的中点,连接,,
如图所示,
又,∴为等边三角形,∴,
又平面平面,平面平面,平面,
故平面.
∵为平行四边形,∴,∴平面.
又∵,∴平面.
∵,∴平面平面.
由(1),得平面,∴平面,∴.
∵,∴平面,∴是与平面所成角.
∵,,∴平面,平面,∵,
∴平面平面.
∴,,解得.……8分
在梯形中,易证,
分别以,,的正方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
由,及,得,
∴,,.
设平面的一个法向量为,由得,
令,得
设平面的一个法向量为,由得,
令,得.∴,
又∵二面角是钝角,∴二面角的余弦值是.……12分
(2)方法二:以AB中点为原点建立如图空间直角坐标系,设BC=t,
则,,,,
平面ABCD的法向量n=(0,0,1), 解得,∴,,.下同解法一
5、
6、(1)
∵∴ 又∵
∴∴
∵
∴ ………………4分
又∵ ∴ ………………6分
(2),,
,
, ………………8分
∴………………12分
7、解:(Ⅰ)证明:由已知得四边形ABFE是正方形,且边长为2,在图2中,AF⊥BE,
由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,∴AF⊥平面BDE………………………………2分
又DE⊂平面BDE,∴AF⊥DE,
又AE⊥DE,AE∩AF=A,∴DE⊥平面ABFE,……………………………………5分
(Ⅱ)在图2中,AE⊥DE,AE⊥EF,DE∩EF=E,即AE⊥面DEFC,
在梯形中,过点作//交于点,连接,
易得,,则DC⊥CF,则, ,
过E作EG⊥EF交DC于点G,可知GE,EA,EF两两垂直,以E为坐标原点,以
分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,………………7分
则
设平面ACD的一个法向量为,
由得取得
设,则,得
设CP与平面ACD所成的角为
所以.…………………………………………12分
8、解: (1)连接 BD 交 AC 于 F 点, 连接 EF ,
在 DPBD 中, EF // PB , ……………………………………2 分
又 EF Ì 面AEC,PB Ë 面AEC
PB //面AEC . ………………………………………4 分
( 2)由题意知, AC,AB,AP 两两互相垂直,如图以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标 系,
射线 AC,AB,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .
9、解法一:(1)为矩形,且平面平面,
平面平面,在中,,
在梯形中,,从而.
在中,,可知,
在中,,可知,
又,
平面,又平面.……………………………………6分
(2)取的中点,连接,由知,
由知,为二面角的平面角.
由(1)知平面,,又,
,.
解法二:(1)为矩形,且平面平面,平面,又,所以可以以为原点建立如图所示空间直角坐标系,则
,
.
(2),
设平面的法向量为,则 ,令,得.
设平面的法向量为,则,令,得.
,
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
10、【解答】
(2)解析2:面,设二面角的平面角为,
,,到距离为,
二面角的平面角为,
11、证明:(1)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥CD,AB=2AD=2DC=6,
在图1中作AB的中点E,在图1、图2中,取AC的中点F,
连结DF、CE、EF,则△DAC,△EAC均为等腰直角三角形,
AC⊥DF,AC⊥EF,又DF∩EF=F,∴AC⊥面DEF,
又DE⊂面DEF,∴DE⊥AC.
解:(2)∵DG⊥面ABC,∴DG⊥AG,DG⊥GC,
∵DA=DC,∴GA=GC,∴G在AC的中垂线上,
∴EG垂直平分AC,
又F为AC中点,∴E,F,G共线,
∵AB=2AD=2DC=6,∴△ABC是等腰直角三角形,
==18,
==12,
解得DG=2,
在等腰直角△DAC和等腰直角△EAC中,
EF=DF==3,
在Rt△DGF中,GF===1,
以G为原点,过G为z轴,GM、GE、GD所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(3,﹣1,0),B(﹣3,5,0),C(﹣3,﹣1,0),D(0,0,2),
则=(﹣3,5,﹣2),=(3,﹣1,﹣2),=(﹣3,﹣1,﹣2),
设面DAC的法向量=(x,y,z),
则,令z=1,则=(0,﹣2,1),
cos<>==﹣,
∴DB与面DAC所成角的余弦值为=.
12、解析:(1)记,连结.因为,所以.
由题意知为正三角形,求得,在中求得,又,
所以,所以.因为,所以平面.
因为平面,所以平面平面.………………………………6分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则,
.
因为平面,所以平面的法向量为.
设平面的法向量为,则,取,则,
所以.
所以,因为所求二面角的平面角为钝角,
所以所求二面角的余弦值为.………………………………………………12分
13、【解析】(1)证明:如图,由已知得四边形是直角梯形,
由已知,
可得是等腰直角三角形,即,
又平面,则,
又,所以平面,
所以;
(2)建立如图所示空间直角坐标系,则
设,则的坐标为设是平面的一个法向量,则
,得,则可取
又是平面的一个法向量,
所以,
14、【解析】(1)证明:∵平面⊥平面,平面∩平面=,平面,,∴⊥平面. 又平面,∴平面⊥平面.
(2)设,∵四边形为等腰梯形,⊥,=2=,
∴ ,,∵且,∴四边形为平行四边形,
∴,且,又∵⊥平面,∴⊥平面.
以为原点,向量的方向分别为x轴,y轴, z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,,,,
设平面DFC的一个法向量为,
有,即,不妨设,得.取,
于是. 设与平面所成角为,则.
∴与平面所成角的正弦值为.
15、解析:(1)设与相交于点,连接,
∵四边形为菱形,∴,且为中点,
∵,∴,
又,∴平面.…………………5分
(2)连接,∵四边形为菱形,且,∴为等边三角形,
∵为中点,∴,又,∴平面.
∵两两垂直,∴建立空间直角坐标系,如图所示,………7分
设,∵四边形为菱形, ,∴.
∵为等边三角形,∴.
∴,
∴.
设平面的法向量为,则,
取,得.设直线与平面所成角为,………10分
则. …………………12分
注:用等体积法求线面角也可酌情给分