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- 2021-07-01 发布
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概率与统计
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.(重庆卷)从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,
则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( )
A. 4
1
B.120
79
C. 4
3
D. 24
23
解:可从对立面考虑,即三张价格均不相同,
111
5 3 2
3
10
31.4
CCCP C
选 C
2.(辽宁卷)一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球
是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码
是偶数的概率是( )
A.
1
22 B.
1
11 C.
3
22 D.
2
11
解: 从中任取两个球共有 662
12 C 种取法,其中取到的都是红球,且至少有 1 个球
的号码是偶数的取法有 122
3
2
6 CC 种取法,概率为 11
2
66
12
,选 D.
3.(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4 个红球、
2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,则取出的两球是红球的概率为
______(答案用分数表示)
解:P= 6
4
6
1
= 9
1
4.(上海卷) 在五个数字1 2 3 4 5,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的
概率是 (结果用数值表示).
解:
21
23
3
5
3
10
CC
C
= 3.0
5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是
1
2 ,他投球 10 次,
恰好投进 3 个球的概率为 .(用数值作答)
解:由题意知所求概率
37
3
10
1 1 15
2 2 128pC
6.(全国 II) 在某项测量中,测量结果 服从正态分布
2(1 )( 0)N , .若 在 (01),
内取值的概率为 0.4,则 在 (0 2), 内取值的概率为 .
解:在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1,2)( >0),正态分布图象
的对称轴为 x=1, 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在
(1,2)内取值的概率于 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样随机
变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8。
★★★高考要考什么
1.(1)直接利用四种基本事件的概率基本原理,求事件发生的概率
(2)把方程思想融入概率问题,解决实际问题
(3)把概率问题与数列结合起来,运用数列方法解决概率问题
2.离散型随机变量的分布列。
(1)分布列:设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1, x2, …, xi, …,
ξ 取每一个值 xi(i=1,2,……)的概率 P(ξ =xi)=Pi,
则称下表为随机变量ξ 的概率分布,简称为ξ 的分布列.
(2)分布列的性质:由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:
<1> Pi≥0,i=1,2,……;<2> P1+P2+……=1.
(3)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率
是 ()k k n k
nP k C p q ,其中 k=0,1,…,n.q=1-p,于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:
我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p)其中 n,p 为参数,记
k k n k
nC p q
=b(k;n,p).
(4)离散型随机变量ξ 的期望:Eξ =x1p1+x2p2+……+xipi+…
(5)离散型随机变量ξ 的方差:
2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) ( )iiD x E p x E p x E p
2
(6) , ( , 0)
,
a b a b a
E aE b D a D
若 为随机变量 则 为常数, 也为随机
变量,且 。
(7) B(n,p), E =np,D =np(1-p). 若 则
3. 若 标 准 正 态 分 布
2( , )N 总 体 取 值 小 于 0x 的 概 率 用 0()x 表 示 , 即 :
00( ) ( )x P x x
x-x F(x)= ( ).
2对于一般正态总体N( , )来说,取值小于 的概率
★★★ 突 破 重 难 点
【范例 1】某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检
验.设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品.
(Ⅰ)用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望;
(Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率.
解(1) 0,1,2,3
22
34
22
55
18 9P( 0)= 100 50
CC
CC
,
2 1 112
3 3 244
2 2 2 2
5 5 5 5
C 24P( 1 )= C 50
C C CC
C C C
,
111 2 2
324 4 2
2 2 2 2
5 5 5 5
15( 2) 50
CCC C CP C C C C
,
12
42
22
55
2( 3) 50
CCP CC
所以 的分布列为
0 1 2 3
P 9
50
24
50
15
50
2
50
的数学期望 E( )=
9 24 15 20 1 2 3 1.250 50 50 50
(2) P( 2 )=
15 2 17( 2) ( 3) 50 50 50PP
分析提示:本题以古典概率为背景,其关键是利用排列组合的方法求出 m,n,主要考察分布列的求法以及利用分布列
求期望和概率。
变式:袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,
每个小球被取出的可能性都相等,用 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求:(1)取出的 3 个小球上的数字互不相
同的概率;
(2)随机变量 的概率分布和数学期望;
(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.
解:(I)解法一:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ,
则
3 1 1 1
5 2 2 2
3
10
2() 3
C C C CPA C
解法二:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”,“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为
B ,则事件 和事件 是互斥事件,因为
1 2 1
5 2 8
3
10
1() 3
C C CPB C
,所以
12( ) 1 ( ) 1 33P A P B
.
(II)由题意 有可能的取值为:2,3,4,5.
2 1 1 2
2 2 2 2
3
10
1( 2) ;30
C C C CP C
2 1 1 2
4 2 4 2
3
10
2( 3) ;15
C C C CP C
2 1 1 2
6 2 6 2
3
10
3( 4) ;10
C C C CP C
2 1 1 2
8 2 8 2
3
10
8( 5) ;15
C C C CP C
所以随机变量 的概率分布为
2 3 4 5
P
1
30
2
15
3
10
8
15
因此 的数学期望为
1 2 3 8 132 3 4 530 15 10 15 3E
(Ⅲ)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为C ,则
2 3 13( ) (" 3" " 4") (" 3") (" 4") 15 10 30P C P P P 或
【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是1
3, 2
5 , 1
2 .
(Ⅰ)现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用 ξ 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ.
解: (Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A1 , "乙投篮 1 次投进"为事件 A2 , "丙投篮 1 次投进"为事件 A3,"3 人都没有投
进"为事件 A .则 P(A1)= 1
3,P(A2)= 2
5,P(A3)= 1
2,
∴ P(A) = P( 1A . 2A . 3A )=P( 1A )·P( 2A )·P( 3A )
= [1-P(A1)] ·[1-P (A2)] ·[1-P (A3)]=(1-1
3)(1-2
5)(1-1
2)=1
5
∴3 人都没有投进的概率为1
5 .
(Ⅱ)解法一: 随机变量 ξ 的可能值有 0,1,2,3, ξ~ B(3, 2
5),
P(ξ=k)=C3k(2
5)k(3
5)3-k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3×2
5 = 6
5 .
解法二: ξ 的概率分布为:
ξ 0 1 2 3
P 27
125 54
125 36
125 8
125
Eξ=0× 27
125 +1× 54
125 +2× 36
125 +3× 8
125 = 6
5 .
分析提示:已知概率求概率,主要运用加法公式(互斥)和乘法公式(独立)以及 n 次独立重复试验(二项分布),注
意条件和适用的范围,另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。
变式:假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P,且个引擎是否发生故障是独立的,如果有至少 50%的引擎能正常运行,
问对于多大的 P 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全?
解 飞机成功飞行的概率:
4 引擎飞机为:
2322
44
4
33
4
222
4
)1(4)1(6
)1()1(
PPPPP
PCPPCPPC
2 引擎飞机为:
222
2
1
2 )1(2)1( PPPPCPPC
要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,只要
02783)1(2)1(4)1(6 2324322 pPPPPPPPPPP
所以 3
2,023 PP
【范例 3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司
缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元
的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
分别为
1 1 1, , ,9 10 11 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(1)获赔的概率;(4 分)
(2)获赔金额 的分布列与期望。(9 分)
解:设 kA 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, 1 2 3k ,,.由题意知 1A , 2A , 3A 独立,
且 1
1()9PA
, 2
1()10PA
, 3
1()11PA
.
(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为
1 2 3 1 2 3
8 9 10 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 10 11 11P A A A P A P A P A
.
(Ⅱ) 的所有可能值为0 ,9000,18000, 27000 .
1 2 3 1 2 3
8 9 10 8( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 11P P A A A P A P A P A
,
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 9000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1 9 10 8 1 10 8 9 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11 242 11
990 45
,
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 18000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1 1 10 1 9 1 8 1 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11 27 3
990 110
,
1 2 3 1 2 3( 27000) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A
1 1 1 1
9 10 11 990
.
综上知, 的分布列为
0 9000 18000 27000
P
8
11
11
45
3
110
1
990
求 的期望有两种解法:
解法一:由 的分布列得
8 11 3 10 9000 18000 2700011 45 110 990E
29900 2718.1811 ≈
(元).
解法二:设 k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, 1 2 3k ,,,
则 1 有分布列
1 0 9000
P
8
9
1
9
故 1
19000 10009E
.
同理得 2
19000 90010E
, 3
19000 818.1811E
.
综上有 1 2 3 1000 900 818.18 2718.18E E E E (元).
变式:猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击,但距离 150
米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距离的平
方成反比,求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 2
1)( AP
,由 2100)(2
1 kAP
,求得 k=5000。
8
1
200
5000P(C),9
2
150
5000P(B) 22
,命中野兔的概率为
.144
95
8
1)9
21)(2
11(9
2)2
11(2
1
)()()()()()()()AP(P(A)
CPBPAPBPAPAPCBAPB
配套练习
1. 设随机变量 服从标准正态分布 (01)N , ,已知 ( 1.96) 0.025 ,
则 (| | 1.96)P =( )
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975
解: 服从标准正态分布 , (| | 1.96) ( 1.96 1.96)PP
(1.96) ( 1.96) 1 2 ( 1.96) 1 2 0.025 0.950. 选 C
2. 以 )(x 表示标准正态总体在区间( x, )内取值的概率,若随机变量
服从正态分布 ),( 2N ,则概率 )( P 等于
(A) )( - )( (B) )1()1(
(C)
)1(
(D) )(2
解: ()P = ( ) ( )PP =
()
-
()
= ,选 B。
3.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 ()mn,a= 与向量 (1 1),b
的夹角为 ,则
0
,
的概率是( )
A.
5
12 B.
1
2 C.
7
12 D.
5
6
解: 由向量夹角的定义,图形直观可得,当点 ,A m n 位于直线 yx 上及其下方时,
满足 ,点 的总个数为66 个,而位于直线 上及其下方
的点 有
1 1 1 1
2 3 4 56 1 21C C C C 个,故所求概率
21 7
36 12
,选 C
4.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A.
1
9 B.
1
12 C.
1
15 D.
1
18
解: 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 36 个,其中为等差数列有三类:
(1)公差为 0 的有 6 个;(2)公差为 1 或-1 的有 8 个;(3)公差为 2 或-2 的
有 4 个,共有 18 个,成等差数列的概率为 12
1
6
18
3
,选 B
5. 15 名新生,其中有 3 名优秀生,现随机将他们分到三个班级中去,每班 5 人,则每班都分到优秀生的概率是
5
10
5
15
4
8
4
12
3
3
CC
CCA
.
6. 如图,已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5, 且是相互独立的,则灯亮的概率为
0.625
7.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为
250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元. 表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件 A :“购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ()PA;
(Ⅱ)求 的分布列及期望 E .
解:(Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”.
知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
3( ) (1 0.4) 0.216PA , ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A .
(Ⅱ) 的可能取值为 200 元, 250 元,300元.
( 200) ( 1) 0.4PP ,
( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P P ,
( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P P .
的分布列为
200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
200 0.4 250 0.4 300 0.2E 240 (元).
8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C 与产量 q 的函数关系式为
3
23 20 10( 0)3
qC q q q
该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品
价格 p 与产量 q 的函数关系式如下表所示:
市场情形 概率 价格 p 与产量 q 的函数关系式
好 0.4 164 3pq
中 0.4 101 3pq
差 0.2 70 3pq
设 1 2 3L L L, , 分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量 q ,表示当产量为 q
而市场前景无法确定的利润.
(I)分别求利润 与产量 q 的函数关系式;
(II)当产量 q 确定时,求期望 qE ;
(III)试问产量 q 取何值时, qE 取得最大值.
(Ⅰ)解:由题意可得
L1=
2
2(164 3 ) ( 3 20 10)3
qq q q q 101443
3
qq
(q>0).
同理可得
10813
3
2 qqL
(q>0)
10503
3
3 qqL
(q>0)
(Ⅱ) 解:由期望定义可知
1 2 30.4 0.4 0.2qE L L L
)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0
333
qqqqqq
.101003
3
qq
(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知 qE 是产量 q 的函数,设
3
( ) 100 10( 0),3q
qf q E q q
得 )(.100)( 2 qfqqf 令 0 解得 10,10 qq (舍去).
由题意及问题的实际意义(或当 0<q<10 时, ()fq >0;当 q>10 时, ( ) 0)fq
可知,当 q=10 时, f(q)取得最大值,即 qE 最大时的产量 q 为 10.