2019-2020学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高一上学期期末考试数学试卷 9页

宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 ‎ 满分：150分 时间：120分钟 ‎ ‎ 一．选择题：（每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）‎ ‎1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知点A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角是　(　　)‎ A.60°　　 　B.30°　　　 C.120°　　　 D.150°‎ ‎3．如图，A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A′B′＝3，则原正方形ABCD的面积是(　　)‎ A．9　　　　 B．‎3 C.　　　　 D．36‎ ‎4．过点P(4，－1)，且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是(　　)‎ A．4x＋3y－19＝0 B．4x＋3y－13＝0‎ C．3x＋4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0‎ ‎5．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于(　　)‎ A． B．‎2 C．2 D．4‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　 　)‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π ‎7.长方体中，AB=AD=，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为( )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎8.已知实数x,y满足5x+12y-60=0,‎ A. B‎.1 C. D.‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　　）‎ ‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ A.13 B. C. D.15‎ ‎11.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC‎1C2面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D.20‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，过x轴上的一个动点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则线段AB 长度的取值范围是(　 　)‎ A．(，2) B．[，2) C．(，2] D．[，2]‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.‎ ‎14．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ 上述命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎15.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是 ‎ ‎16.已知正三棱柱的底面边长为，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥外接球的表面积为________.‎ 三．解答题（共70分）‎ ‎17.(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.‎ ‎(1)求该几何体的体积V;‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ ‎18.(本小题满分12分)直线l经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点．‎ ‎(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；‎ ‎(2)点A(3，1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．‎ ‎19.(本小题满分12分)设圆C的方程为x2+y2-4x-5=0，‎ ‎(1)求该圆的圆心坐标及半径.‎ ‎(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.‎ ‎20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎ (1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？并说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积．‎ ‎22.（本小题满分12分）如图（1），在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝2，M，N分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为60°，如图（2）．‎ ‎（1）求证：BO⊥DO；‎ ‎（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．‎ 数学答案 一． 选择题 ‎1-5：BCABB 6-10:AADCA 11-12:BB 二．填空题 ‎13. 或x+y-7=0‎ ‎14． ②④　‎ ‎15. 0≤d＜ ‎ ‎16. 19‎ 三．解答题 ‎17.解：(1)几何体的体积V=S矩形h=×6×8×4=64.‎ ‎(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1==5.‎ 左、右侧面的底边上的高h2==4.‎ 故几何体的侧面积S=2·×8×5+=.‎ ‎18.解：由解得 所以两直线的交点M(－2，2)．‎ ‎(1)设直线l的方程为3x＋y＋c＝0(c≠－1)，‎ 把点(－2，2)代入方程，得c＝4，‎ 所以直线l的方程为3x＋y＋4＝0.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－2，‎ 此时点A(3，1)到直线l的距离为5，满足题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋2＝0，‎ 则点A(3，1)到直线l的距离d＝＝＝5，‎ 所以k＝，则直线l的方程为12x－5y＋34＝0.‎ 故直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0.‎ ‎19.解：(1)将x2+y2-4x-5=0配方得：(x-2)2+y2=9.‎ 所以圆心坐标为C(2，0)，半径为r=3.‎ ‎(2)设直线AB的斜率为k.‎ 由圆的几何性质可知：CP⊥AB，‎ 所以kCP·k=-1.‎ 又kCP==1，所以k=-1.‎ 所以直线AB的方程为y-1=-(x-3)，‎ 即：x+y-4=0.‎ ‎20.[证明]　(1)因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF.‎ ‎21．解：(1)：依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点，‎ ‎∵AB中点为(1,2)，斜率为1，‎ ‎∴AB垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，‎ 即y＝－x＋3.‎ 联立 解得 即圆心C(－3,6)，半径r＝＝2，‎ 所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.‎ ‎(2)点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，‎ ‎∴m＝12或m＝0(舍去)，‎ ‎|AQ|＝12，点B到直线AQ的距离为4.‎ 所以△QAB的面积为24.‎ ‎22.（1）证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD＝60°．‎ 连接AD，由AM＝DM，可知△MAD是正三角形，所以AD＝．‎ 在Rt△BAD中，AB＝2，AD＝，所以BD＝，由题可知BO＝OD＝，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO．‎ ‎（2）解：如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD＝，BC＝，CD＝2，所以DC⊥BC，则EF⊥CD．‎ 又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD．‎ 又BO＝OD，所以OE⊥BD，又BD∩CD＝D，所以OE⊥平面ABCD．又OE⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD．‎ 过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD内的投影，所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角．‎ 又AH是Rt△ABD斜边上的高，所以AH＝，又OA＝，所以sin∠AOH＝＝．故AO与平面BOD所成角的正弦值为．‎