2019届二轮复习回扣三三角函数与平面向量学案（全国通用） 6页

回扣三三角函数与平面向量 环节一　记牢概念公式，避免临场卡壳 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)商数关系：＝tan α(α≠ π＋， ∈ )；‎ ‎(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．‎ ‎2．三角函数的诱导公式 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“ ·±α( ∈ )”中 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．‎ ‎3．三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ tan(α±β)＝；‎ sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.‎ ‎4．平面向量的有关运算 ‎(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.‎ 两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔ a＋b ＝ a－b .‎ ‎(2)若a＝(x，y)，则 a ＝＝.‎ ‎(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ＝.‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ 环节二　巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．由sin α±cos α的符号判断α位置 ‎(1)sin α－cos α＞0⇔ α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有sin α－cos α＞1)；(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α＞1)．‎ ‎2．三点共线的判定 三个点A，B，C共线⇔，共线；‎ 向量，，中三终点A，B，C共线⇔ 存在实数α，β使得＝α ＋β，且α＋β＝1.‎ ‎3．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔ ＝ ＝ ＝.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.‎ ‎4．在△ABC中，以下恒等式成立 ‎(1)sin A＋sin B＋sin C＝4coscoscos ‎(2)cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sinsinsin ‎(3)tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C 环节三　明辨易错易混，警惕命题陷阱 ‎1．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B.‎ ‎2．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．‎ ‎3．两向量夹角的范围为[0，π ，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．‎ 环节四　适当保温训练，树立必胜信念 ‎1．已知sin α＋ cos α＝，则tan α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：∵sin α＋ cos α＝，‎ ‎∴(sin α＋cos α)2＝3，‎ ‎∴sin2α＋2 sin αcos α＋2cos2α＝3.‎ ‎∴＝3.‎ ‎∴＝3.‎ ‎∴2tan2 α－2tan α＋1＝0.‎ ‎∴tan α＝.‎ 答案：A ‎2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)‎ A．－4 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析：m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.‎ 答案：B ‎3．在△ABC中，若b2＝ac，则cos(A－C)＋cos B＋cos 2B的值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D. 解析：法一：(特殊值法)由题意可设a＝b＝c，即△ABC为等边三角形，则原式＝cos 0˚＋cos 60˚＋cos 120˚＝1.‎ 法二：由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，则原式＝cos Acos C＋sin Asin C＋cos[π－(A＋C) ＋cos 2B＝cos Acos C＋sin Asin C－cos(A＋C)＋cos 2B＝2sin Asin C＋2cos2 B－1＝2sin2 B＋2cos2 B－1＝1.‎ 答案：A ‎4．将函数h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x) 的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象(　　)‎ A．关于直线x＝0对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(1,0)对称 D．关于点(0,1)对称 解析：依题意，将h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y ‎＝2sin＋2，即f(x)＝2sin＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称．‎ 答案：D ‎5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ) ，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)‎ A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点 解析：取AB的中点D，则2＝＋，‎ ‎∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ) ，‎ ‎∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ) ＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，‎ ‎∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．‎ 答案：C ‎6．如图，一栋建筑物的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15˚和60˚，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30˚，则通信塔CD的高为________m.‎ 解析：如图，在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝‎20 m.‎ 又易知∠MAN＝∠AMB＝15˚，所以∠MAC＝30˚＋15˚＝45˚，又∠AMC＝180˚－15˚－60˚＝105˚，从而∠ACM＝30˚.在△AMC 中，由正弦定理得＝，解得MC＝40.在Rt △CMD中，CD＝40×sin 60˚＝‎60 m，故通信塔CD的高为‎60 m.‎ 答案：60‎ ‎7．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，若D为BC的三等分点(靠近点B一侧)，则·的取值范围是________．‎ 解析：∵＝＝(－)，‎ 有＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝·(－)‎ ‎＝－2＋·＋AC＝＋2cos θ.‎ 而θ∈(0，π)，故＋2cos θ∈.‎ 答案： ‎8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈[－π，－ 时，求f(x)的取值范围．‎ 解析：(1)由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将代入得1＝sin，而－＜φ＜，所以φ＝.因此函数f(x)＝sin.‎ ‎(2)由于x∈，－≤x＋≤，‎ 所以－1≤sin≤，‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos ‎2C＋2cos C＋2＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值．‎ 解析：(1)∵cos ‎2C＋2cos C＋2＝0，‎ ‎∴2cos‎2C＋2cos C＋1＝0，‎ 即(cos C＋1)2＝0，‎ ‎∴cos C＝－.‎ 又C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝‎3a2＋‎2a2＝‎5a2，‎ ‎∴c＝a，即sin C＝sin A，‎ ‎∴sin A＝sin C＝.‎ ‎∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，‎ ‎∴absin C＝sin Asin B，‎ ‎∴·sin C＝，‎ 由正弦定理得：2sin C＝，‎ 解得c＝1.‎