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  • 2021-07-01 发布

2019届二轮复习回扣三三角函数与平面向量学案(全国通用)

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回扣三三角函数与平面向量 环节一 记牢概念公式,避免临场卡壳 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)商数关系:=tan α(α≠ π+, ∈ );‎ ‎(2)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).‎ ‎2.三角函数的诱导公式 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中,“奇、偶”是指“ ·±α( ∈ )”中 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时,原函数值的符号.‎ ‎3.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;‎ cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;‎ tan(α±β)=;‎ sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=.‎ ‎4.平面向量的有关运算 ‎(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件:a∥b⇔a=λb.‎ 两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔ a+b = a-b .‎ ‎(2)若a=(x,y),则 a ==.‎ ‎(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则 =.‎ ‎(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.‎ 环节二 巧用解题结论,考场快速抢分 ‎1.由sin α±cos α的符号判断α位置 ‎(1)sin α-cos α>0⇔ α终边在直线y=x上方(特殊地,当α在第二象限时有sin α-cos α>1);(2)sin α+cos α>0⇔α终边在直线y=-x上方(特殊地,当α在第一象限时有sin α+cos α>1).‎ ‎2.三点共线的判定 三个点A,B,C共线⇔,共线;‎ 向量,,中三终点A,B,C共线⇔ 存在实数α,β使得=α +β,且α+β=1.‎ ‎3.三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔ = = =.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔++=0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.‎ ‎4.在△ABC中,以下恒等式成立 ‎(1)sin A+sin B+sin C=4coscoscos ‎(2)cos A+cos B+cos C=1+4sinsinsin ‎(3)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C 环节三 明辨易错易混,警惕命题陷阱 ‎1.利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.在△ABC中,A>B⇔sin A>sin B.‎ ‎2.要特别注意零向量带来的问题:0的模是0,方向任意,并不是没有方向;0与任意非零向量平行;λ0=0(λ∈R),而不是等于0;0与任意向量的数量积等于0,即0·a=0;但不说0与任意非零向量垂直.‎ ‎3.两向量夹角的范围为[0,π ,向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价.‎ 环节四 适当保温训练,树立必胜信念 ‎1.已知sin α+ cos α=,则tan α=(  )‎ A. B. C.- D.- 解析:∵sin α+ cos α=,‎ ‎∴(sin α+cos α)2=3,‎ ‎∴sin2α+2 sin αcos α+2cos2α=3.‎ ‎∴=3.‎ ‎∴=3.‎ ‎∴2tan2 α-2tan α+1=0.‎ ‎∴tan α=.‎ 答案:A ‎2.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(  )‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ 解析:m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)⊥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3.‎ 答案:B ‎3.在△ABC中,若b2=ac,则cos(A-C)+cos B+cos 2B的值为(  )‎ A.1 B. C.2 D. 解析:法一:(特殊值法)由题意可设a=b=c,即△ABC为等边三角形,则原式=cos 0˚+cos 60˚+cos 120˚=1.‎ 法二:由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C,则原式=cos Acos C+sin Asin C+cos[π-(A+C) +cos 2B=cos Acos C+sin Asin C-cos(A+C)+cos 2B=2sin Asin C+2cos2 B-1=2sin2 B+2cos2 B-1=1.‎ 答案:A ‎4.将函数h(x)=2sin的图象向右平移个单位,再向上平移2个单位,得到函数f(x) 的图象,则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象(  )‎ A.关于直线x=0对称 B.关于直线x=1对称 C.关于点(1,0)对称 D.关于点(0,1)对称 解析:依题意,将h(x)=2sin的图象向右平移个单位,再向上平移2个单位后得y ‎=2sin+2,即f(x)=2sin+2的图象,又∵h(-x)+f(x)=2,∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称.‎ 答案:D ‎5.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ) ,λ∈R,则点P的轨迹一定经过(  )‎ A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 解析:取AB的中点D,则2=+,‎ ‎∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ) ,‎ ‎∴=[2(1-λ)+(1+2λ) =+,而+=1,∴P,C,D三点共线,‎ ‎∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.‎ 答案:C ‎6.如图,一栋建筑物的高为(30-10) m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别为15˚和60˚,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30˚,则通信塔CD的高为________m.‎ 解析:如图,在Rt△ABM中,AM=====‎20 m.‎ 又易知∠MAN=∠AMB=15˚,所以∠MAC=30˚+15˚=45˚,又∠AMC=180˚-15˚-60˚=105˚,从而∠ACM=30˚.在△AMC 中,由正弦定理得=,解得MC=40.在Rt △CMD中,CD=40×sin 60˚=‎60 m,故通信塔CD的高为‎60 m.‎ 答案:60‎ ‎7.已知在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D为BC的三等分点(靠近点B一侧),则·的取值范围是________.‎ 解析:∵==(-),‎ 有=+=+,‎ ‎∴·=·(-)‎ ‎=-2+·+AC=+2cos θ.‎ 而θ∈(0,π),故+2cos θ∈.‎ 答案: ‎8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<,x∈R)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式;‎ ‎(2)当x∈[-π,- 时,求f(x)的取值范围.‎ 解析:(1)由图象得A=1,=-=,所以T=2π,则ω=1.将代入得1=sin,而-<φ<,所以φ=.因此函数f(x)=sin.‎ ‎(2)由于x∈,-≤x+≤,‎ 所以-1≤sin≤,‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ ‎9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos ‎2C+2cos C+2=0.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若b=a,△ABC的面积为sin Asin B,求sin A及c的值.‎ 解析:(1)∵cos ‎2C+2cos C+2=0,‎ ‎∴2cos‎2C+2cos C+1=0,‎ 即(cos C+1)2=0,‎ ‎∴cos C=-.‎ 又C∈(0,π),∴C=.‎ ‎(2)∵c2=a2+b2-2abcos C=‎3a2+‎2a2=‎5a2,‎ ‎∴c=a,即sin C=sin A,‎ ‎∴sin A=sin C=.‎ ‎∵S△ABC=absin C,且S△ABC=sin Asin B,‎ ‎∴absin C=sin Asin B,‎ ‎∴·sin C=,‎ 由正弦定理得:2sin C=,‎ 解得c=1.‎