山东省聊城市2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析 7页

‎2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 椭圆的一个焦点坐标为 A. B. C. D. ‎ 2. 数列为等差数列，为其前n项和，若，则 A. 120 B. ‎60 ‎C. 80 D. 240‎ 3. 在各项均为正数的等比数列中，，则 A. 有最小值3 B. 有最小值‎4 ‎C. 有最大值3 D. 有最大值4‎ 4. 从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率 A. B. C. D. ‎ 5. 已知命题p：存在，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 6. 是等比数列，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列可以是 递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列 A. B. C. D. ‎ 7. 设函数，若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为 A. 8 B. ‎10 ‎C. 16 D. 22‎ 9. 已知数列的通项公式，其前n项和为，若，则的最大值是 A. 1 B. ‎3 ‎C. 5 D. 7‎ 10. 设，是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足，则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 11. 已知，则函数的最大值为______．‎ 12. 已知等比数列中，若，则______．‎ 13. 下列命题中正确的序号是______． “”是“”的充要条件； 若，则，是的充分必要条件； 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”； 若p：，q：，则p是q成立的必要不充分条件．‎ 14. ‎，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，，过作的角平分线的垂线，垂足为M，则的长为______．‎ 三、解答题（本大题共4小题）‎ 15. 设m是实数，已知命题p：，使函数满足；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆． 若命题p为真命题，求m的取值范围； 若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知函数． 若，求不等式的解集； 若，，且，求的最小值． ‎ 2. 已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆C的左，右焦点，且． 求椭圆的标准方程； 设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程． ‎ 3. 若各项均不为零的数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，． 证明数列是等比数列，并求的通项公式； 设，是否存在正整数k，使得对于恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：椭圆的焦点在y轴上的椭圆，，，， 椭圆的焦点坐标是， 故选：D． 直接利用椭圆方程求解椭圆的焦点坐标即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：数列为等差数列，为其前n项和，， ． 故选：A． 由等差数列前n项和公式和通项公式得，由此能求出结果． 本题考查等差数列的前12项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：各项均为正数的等比数列中，， 则，当且仅当时取等号． 故选：B． 利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出． 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为椭圆的长轴为，B为短轴一端点，， 所以，即，又， ， 解得； 故选：B． 利用椭圆的长轴为，B为短轴一端点，若，求出a，b的关系，利用求出a，c的关系，求出椭圆的离心率即可． 本题考查椭圆的基本性质，注意椭圆中元素的几何意义，考查计算能力． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题p：存在，，则：任意，， 命题p是假命题，：任意，是真命题， 则，即． 故选：D． 写出原命题的否定，由命题p是假命题，得为真命题，再由判别式法求解． 本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定，考查数学转化思想方法，是中档题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：数列是等比数列，若n，p，，则一定有； 即对于任意等比数列，一定有“n，p，”是“”成立的充分条件， 反之，在等比数列中，若“n，p，”是“”成立的必要条件， 即由，一定得到n，p，，则等比数列的公比不等于1， 如数列2，2，2，，由，不能得到． 数列可以是递增数列；递减数列；摆动数列；不能是常值数列． 故选：C． 由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列不可以是常值数列． 本题考查充分必要条件的判断及应用，考查等比数列的性质，是中档题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 而，， 由题知， 又函数在上递增，令，解得：． 故得实数m的取值范围是． 故选：A． 根据不等式在区间上恒成立，结合二次函数的图象计算即可． 本题主要考查了函数解析式，恒成立问题的求解，转化思想的应用，二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：椭圆的左右焦点为，， 可得，， P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，如图： 则的周长为：． 故选：C． 利用已知条件结合椭圆的性质，转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查数形结合以及计算能力． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由，得或，即， 又函数的图象开口向下，所以数列前4项为负， 当时，数列中的项均为负数， 在的前提下，的最大值是． 故选：A． 根据数列的通项公式，求得数列的前4项为负值，从第8项开始也全部为负，因此，最大． 本题考查了数列的函数特性，解答的关键是分清在的前提下，什么情况下最大，什么情况下最小，题目同时考查了数学转化思想． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若焦点在x轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，取得最大角，设， 则，，解得． 若焦点在y轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，取得最大角，设， 则，，解得． 综上可得：m的取值范围是． 故选：A． 对焦点分类讨论，C点为椭圆短轴的端点时，取得最大角，进而得出结论． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、分类讨论方法、三角函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ，， ，当且仅当，即时取等号， 的最大值为． 故答案为：． 根据即可求出，从而根据基本不等式即可求出，从而得出，从而得出的最大值． 本题考查了基本不等式求最值的应用，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题． 12.【答案】6 ‎ ‎【解析】解：等比数列中，若， 则， ． 故答案为：6． 等比数列中，根据，可得，即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：对于，由，不一定有，反之也不成立，“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误； 对于，由，可得集合，与表示的平面区域如图： 由，不能得到，反之成立， 则，是的充分必要条件，故错误； 对于，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”故正确； 对于，由，不能得到，反之成立，则p是q 成立的必要不充分条件，故正确． 正确命题的序号是． 故答案为：． 由不等式的性质及充分必要条件的判定方法判断；画出图形，结合充分必要条件的判定方法判断；写出全称命题的否定判断． 本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题的否定，考查充分必要条件的判定，是中档题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：延长，延长，交于N，则，， 又根据椭圆的定义知，所以， ， 根据OM是三角形的中位线可得， 故答案为：2． 利用椭圆的性质求出，利用几何法求出即可． 考查椭圆的性质的应用，本题关键是作辅助线，中档题． 15.【答案】解：当命题p为真时，由可知函数的图象与x轴有两个交点． 即，即，则，解得； 当命题q为真时，即方程表示焦点在x轴上的椭圆， ，得． 当p为假命题时，或． 当命题q为假命题时，或． 因此当命题p为假命题，q为假命题时， 解得或． 故实数m的取值范围为或． ‎ ‎【解析】由p为真，得的图象与x轴有两个交点，由判别式大于0求解m的取值范围； 求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的m的取值范围，再由补集与交集思想求解命题p，q均为假命题的实数m的取值范围． 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定与椭圆的标准方程，是中档题． 16.【答案】解：因为，所以， 由，得，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集为：当时解集为，当时解集为，当时，解集为； 因为，由已知， 可得即， 由． 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． ‎ ‎【解析】由题意可得，然后结合二次不等式的求法，进行分类讨论可求； 把代入函数，然后结合已知条件可求得，进行1的代换后利用基本不等式即可求解． 本题主要考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，还考查了利用1的代换，利用基本不等式求解最值，属于中档试题． 17.【答案】由题意可知，，， 以及可知， ，解得． 椭圆的标准方程为． 设，，直线AB 的方程为． 联立，得． 则，， 由， 解得， 直线AB的方程为． ‎ ‎【解析】利用已知条件求出，，代入即可；根据斜率之和等于4，求出k，代入直线方程求出即可． 考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，中档题． 18.【答案】解：证明：，， 由数列的前n项和为，数列的前n项和为及得 ， 即为， 由，可得， 从而当时，， 得，即，所以， ，． ，令，得，，． 当时，由， 得， 由知，此时． 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，且． ， ，， 假设存在正整数k，使得对于恒成立， 可得，即k的最小值为1． ‎ ‎【解析】运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； 由对数的运算性质可得，求得，由数列的裂项相消求和可得得，再由不等式恒成立思想，可得所求最小值． 本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题． ‎