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- 2021-07-01 发布
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滁州市民办高中2019-2020学年度上学期期末试卷
高二(理科)数学
考生注意:
1、本试卷分为选择题和非选择题。考试时间:120分钟,满分150分。
2、本卷命题范围:选修2-1、选修2-2第一章。
第I卷 选择题(60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},若A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},则点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( )
A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5
2.已知p:∃x0∈R,mx+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
4.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2 B.y2-x2=2
C.x2-2y2=1 D.2x2-y2=1
5.函数f(x)=sin2x的导数f′(x)等于( )
A.2sinx B.2sin2x C.2cosx D.sin 2x
6.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
7.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,准线为l,M是l上一点,P是直线MF与C的一个交点,若=3,则|PF|等于( )
A. B. C. D.
8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)·f′(x)>0的解集为( )
A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,3)
C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(0,2)∪(3,+∞)
9.已知函数f(x)=x3-ax2+4,若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(,+∞)
C.(2,+∞) D.(3,+∞)
10.若函数f(x)在(0,+∞)上可导,且满足f(x)>xf′(x),则一定有( )
A.函数F(x)=在(0,+∞)上为增函数
B.函数F(x)=在(0,+∞)上为减函数
C.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数
D.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减函数
11.设函数f(x)=ax3-x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2] B.[0+∞) C.[0,2] D.[1,2]
12.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
第II卷 非选择题(90分)
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是________.
14. 已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.
15.已知F1,F2是椭圆C的左,右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.
16. f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如下图所示.令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的结论:
①若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称;
②若a=-1,-2b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左,右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
20. (12分)已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,且|M1M2|=8.
(1)求p的值;
(2)设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M3交直线y=于点B,求·的值.
21. (12分)设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.
22. (12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
答 案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
B
B
D
A
A
D
D
B
C
B
13.[-2,-1]
14.
15.
16.②
17.解 对p:∵直线与圆相交,∴d=<1.
∴-+10时,x>e.
故当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2.
(2)g(x)=f′(x)-=--=,其定义域为(0,+∞).
令g(x)=0,得m=-x3+x.
设h(x)=-x3+x,其定义域为(0,+∞).则g(x)的零点个数为h(x)与y=m的交点个数.
h′(x)=-x2+1=-(x+1)(x-1),
故当x=1时,h(x)取得最大值h(1)=.
作出h(x)的图象,
由图象可得,
①当m>时,g(x)无零点;
②当m=或m<0时,g(x)有且仅有1个零点;
③当0≤m<时,g(x)有两个零点.
22.解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),
底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2),从而
V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得00,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.