【数学】2020届一轮复习人教A版两条直线的位置关系作业 8页

‎42　两条直线的位置关系 ‎1.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行，则m等于 (　　)‎ A.2　　 B.‎-3　‎‎　‎ C.2或-3 　　 D.-2或-3‎ ‎【解析】选C.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行，则有‎2‎m=m+1‎‎3‎≠‎4‎‎-2‎，所以m=2或-3.‎ ‎2.(2018·石家庄模拟)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为 (　　)‎ A.-24　　 　B‎.24　‎ 　　C.6　　　 D.±6‎ ‎【解析】选A.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a，0)，则‎2a-k=0,‎a+12=0‎即a=-12,‎k=-24.‎ ‎3.直线l1：(a+3)x+y+4=0与直线l2：x+(a-1)y+4=0垂直，则直线l1在x轴上的截距是 (　　)‎ A.-4 B.‎-2 ‎ C.2 D.4‎ ‎【解析】选B.因为直线l1：(a+3)x+y+4=0与直线l2：x+(a-1)y+4=0垂直，‎ 所以(a+3)+(a-1)=0，‎ 解得a=-1，‎ 所以直线l1：2x+y+4=0，‎ 令y=0，得x=-2，‎ 所以直线l1在x轴上的截距是-2.‎ ‎4.(2019·安庆模拟)若直线l1：x+3y+m=0(m>0)与直线l2：2x+6y-3=0的距离为‎10‎，则m= (　　)‎ A.7 B.‎17‎‎2‎ C.14 D.17‎ ‎【解析】选B.直线l1：x+3y+m=0(m>0)，即2x+6y+‎2m=0，因为它与直线l2：2x+6y-3=0的距离为‎10‎，所以‎|2m+3|‎‎4+36‎=‎10‎，解得m=‎17‎‎2‎.‎ ‎5.‎ 如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　)‎ A.2‎10‎ B.6‎ C.3‎3‎ D.2‎‎5‎ 答案A 解析易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|=‎(4+2‎)‎‎2‎+(2-0‎‎)‎‎2‎=2‎10‎.‎ ‎6.若直线l经过直线y=2x+1和y=3x-1的交点,且平行于直线2x+y-3=0,则直线l的方程为　　　　　　. ‎ 答案2x+y-9=0‎ 解析直线y=2x+1与y=3x-1的交点为(2,5).‎ 设直线l方程为2x+y+m=0,将(2,5)代入得m=-9.‎ 故l方程为2x+y-9=0.‎ ‎7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　. ‎ 答案‎5‎‎6‎ 解析由题意得线段AB的中点‎-‎1‎‎2‎,2‎在直线y=kx+b上,故‎3-1‎‎1+2‎‎·k=-1,‎‎2=k·‎-‎‎1‎‎2‎+b,‎解得k=-‎3‎‎2‎,‎b=‎5‎‎4‎,‎ 所以直线方程为y=-‎3‎‎2‎x+‎5‎‎4‎.‎ 令y=0,即-‎3‎‎2‎x+‎5‎‎4‎=0,解得x=‎5‎‎6‎,故直线y=kx+b在x轴上的截距为‎5‎‎6‎.‎ ‎8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.‎ 解方法一:∵P(2,3)是已知两条直线的交点,‎ ‎∴‎2a‎1‎+3b‎1‎+1=0,‎‎2a‎2‎+3b‎2‎+1=0.‎∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.‎ 由题意可知,a1≠a2,∴b‎1‎‎-‎b‎2‎a‎1‎‎-‎a‎2‎=-‎2‎‎3‎.‎ 故所求直线方程为y-b1=-‎2‎‎3‎(x-a1),‎ 即2x+3y-(2a1+3b1)=0,‎ ‎∴2x+3y+1=0.‎ ‎∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.‎ 方法二:∵点P是已知两条直线的交点,‎ ‎∴‎‎2a‎1‎+3b‎1‎+1=0,‎‎2a‎2‎+3b‎2‎+1=0.‎ 可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.‎ ‎∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.‎ ‎9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:‎ ‎(1)相交?　(2)平行?　(3)垂直?‎ 解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;‎ 当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-‎3+m‎4‎,k2=-‎2‎‎5+m,它们在y轴上的截距分别为b1=‎5-3m‎4‎,b2=‎8‎‎5+m.‎ 由k1≠k2,得-‎3+m‎4‎≠-‎2‎‎5+m,‎ 即m≠-7,且m≠-1.‎ 则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.‎ ‎(2)由k‎1‎‎=k‎2‎,‎b‎1‎‎≠b‎2‎,‎得‎-‎3+m‎4‎=-‎2‎‎5+m,‎‎5-3m‎4‎‎≠‎8‎‎5+m,‎解得m=-7.‎ 则当m=-7时,l1与l2平行.‎ ‎(3)由k1k2=-1,得‎-‎‎3+m‎4‎‎·‎‎-‎‎2‎‎5+m=-1,‎ 解得m=-‎13‎‎3‎.‎ 则当m=-‎13‎‎3‎时,l1与l2垂直.‎ ‎10.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.‎ 解作出草图如图所示.‎ 设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',‎ 则易得A'(-2,-4),D'(1,6).‎ 由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与点C.‎ 故BC所在的直线方程为y-6‎‎-4-6‎‎=‎x-1‎‎-2-1‎,‎ 即10x-3y+8=0.‎ ‎11.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是(　　)‎ A.k∈R B.k∈R,且k≠±1,k≠0‎ C.k∈R,且k≠±5,k≠-10 D.k∈R,且k≠±5,k≠1‎ 答案C 解析若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.‎ 由l1∥l3,得k=5;由l2∥l3,得k=-5;‎ 由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.‎ 若l1,l2,l3能构成一个三角形,‎ 则k≠±5,且k≠-10,故选C.‎ ‎12.点P到点A'(1,0)和到直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于‎2‎‎2‎,这样的点P共有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案C 解析设P(x,y),‎ 由题意知‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=|x+1|且‎2‎‎2‎‎=‎‎|x-y|‎‎2‎,‎ 所以y‎2‎‎=4x,‎‎|x-y|=1,‎即y‎2‎‎=4x,‎x-y=1‎①或y‎2‎‎=4x,‎x-y=-1,‎②‎ 解得①有两根,②有一根.‎ ‎13.已知M=‎(x,y)‎y-3‎x-2‎‎=3‎,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=⌀,则a=(　　)‎ A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.-2‎ 答案A 解析集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为M∩N=⌀,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).‎ 因此‎-a‎2‎=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.‎ ‎14.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为　　　　　. ‎ 答案2‎‎5‎ 解析由点A(3,1)及直线y=x,可求得点A关于y=x的对称点为点B(1,3),同理可求得点A关于y=0的对称点为点C(3,-1),如图所示.‎ 则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C四点共线时,△AMN的周长最短,为|BC|=2‎5‎.‎ ‎15.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是　　　　　. ‎ 答案2‎‎5‎ 解析直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.‎ 由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值,|PQ|=‎(2-0‎)‎‎2‎+(1+3‎‎)‎‎2‎=2‎5‎,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2‎5‎.‎ ‎16.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案6x-y-6=0‎ 解析设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',‎ 所以b-4‎a-(-3)‎‎·1=-1,‎‎-3+a‎2‎‎-b+4‎‎2‎+3=0,‎解得a=1,‎b=0.‎ 又反射光线经过点N(2,6),‎ 所以所求直线的方程为y-0‎‎6-0‎‎=‎x-1‎‎2-1‎,即6x-y-6=0.‎ ‎17.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是‎7‎‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的‎1‎‎2‎;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是‎2‎‎∶‎‎5‎.‎ 若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 解(1)因为直线l2:2x-y-‎1‎‎2‎=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=a-‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,所以a+‎‎1‎‎2‎‎5‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,即a+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎,又a>0,解得a=3.‎ ‎(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且‎|c-3|‎‎5‎‎=‎‎1‎‎2‎c+‎‎1‎‎2‎‎5‎,即c=‎13‎‎2‎或c=‎11‎‎6‎,所以2x0-y0+‎13‎‎2‎=0或 2x0-y0+‎11‎‎6‎=0;‎ 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,‎ 有‎|2x‎0‎-y‎0‎+3|‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎|x‎0‎+y‎0‎-1|‎‎2‎,‎ 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,‎ 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;‎ 因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎13‎‎2‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎解得x‎0‎‎=-3,‎y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎(舍去);‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎11‎‎6‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎解得x‎0‎‎=‎1‎‎9‎,‎y‎0‎‎=‎37‎‎18‎.‎ 所以存在点P‎1‎‎9‎‎,‎‎37‎‎18‎同时满足三个条件.‎ 三、高考预测 ‎18.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤‎1‎‎8‎,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.‎2‎‎4‎‎,‎‎1‎‎4‎ B.‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎ ‎ C.‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎ 答案D 解析依题意得|a-b|=‎(a+b‎)‎‎2‎-4ab‎=‎‎1-4c,‎ 当0≤c≤‎1‎‎8‎时,‎2‎‎2‎≤|a-b|=‎1-4c≤1.因为两条直线间的距离等于‎|a-b|‎‎2‎,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎.‎