【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第1讲平面向量的概念及线性运算作业 8页

A组　基础关 ‎1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 答案　B 解析　因为λ≠0，所以λ2>0，所以λ2a与a方向相同，故B正确；A错误，当λ>0时，a与λa方向相同；C错误，当|λ|∈(0,1)时，|－λa|<|a|；D错误，|－λa|是实数，|λ|a是向量，不能比大小．‎ ‎2．下列四项中不能化简为的是(　　)‎ A.＋－ B．(＋)＋(＋)‎ C．(＋)＋ D.－＋ 答案　A 解析　A不能，＋－＝＋＋＝2＋；‎ B能，(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝；‎ C能，(＋)＋＝＋＋＝；‎ D能，－＋＝＋＝.‎ ‎3．(2018·威海模拟)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ 答案　B 解析　＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b.‎ 若A，B，D三点共线，则∥，所以存在实数λ，使＝λ，即2a＋pb＝λ(2a－b)．‎ 又因为a，b不共线，所以解得p＝－1.‎ ‎4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案　B 解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.‎ ‎5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝(　　)‎ A．λ(＋)，λ∈(0,1)‎ B．λ(＋)，λ∈ C．λ(－)，λ∈(0,1)‎ D．λ(－)，λ∈ 答案　A 解析　根据向量的平行四边形法则，得＝＋.因为点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，所以与共线，所以＝λ＝λ(＋)，λ∈(0,1)，故选A.‎ ‎6．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析　＝＋＝＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋＋＋(＋＋)‎ ‎＝－＋.‎ ‎7．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 答案　B 解析　∵D为AB的中点，‎ 则＝(＋)，‎ 又＋＋2＝0，‎ ‎∴＝－，∴O为CD的中点．‎ 又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，‎ 则＝4.‎ ‎8．给出下列四个命题：‎ ‎①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；‎ ‎②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；‎ ‎③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；‎ ‎④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．‎ 其中为真命题的有________(填上序号)．‎ 答案　①②③‎ 解析　①由向量的平行四边形法则可知，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量，所以①是真命题；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量，或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；④当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题．‎ ‎9．(2019·青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：‎ ‎①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 答案　②③④‎ 解析　＝－＝－－＝－a－b，所以①错误；＝＋＝＋＝a＋b，故②正确；＝(＋)＝(b－a)＝－a＋b，故③正确；综上知＋＋＝－a－b)＋＋＝0，故④正确．‎ ‎10．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ＝________.‎ 答案　－ 解析　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．‎ 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.‎ 由于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.‎ 又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.‎ B组　能力关 ‎1．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋－＝0，则△ABC的内角A等于(　　)‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ 答案　A 解析　因为＋－＝0，‎ 所以＝＋.‎ 所以四边形OACB是平行四边形，‎ 又因为||＝||＝||，‎ 所以四边形OACB是菱形，△OAC是等边三角形．所以∠BAC＝∠OAC＝30°.‎ ‎2．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设＝y，‎ ‎∵＝＋＝＋y＝＋y(－)‎ ‎＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ ‎∴y∈，‎ ‎∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.‎ ‎3．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 答案　A 解析　因为＝2，所以＝，则＝－＝－，同理＝＋，＝－，则＋＋＝－，即＋＋与反向平行，故选A.‎ ‎4．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为＝，＝，‎ 则＝，＝2，‎ 由向量加法的平行四边形法则可知＝＋，‎ 所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E，F，K三点共线可得λ＋2λ＝1，所以λ＝.‎ ‎5．(2018·南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则故＝－2.‎ ‎6．已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λ－－|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________.‎ 答案　±3‎ 解析　如图，设D为BC的中点，‎ 则＋＝2，‎ 因为|λ－－|＝0，‎ 所以λ－－＝0，‎ 所以λ＝＋＝2.‎ 于是A，M，D三点共线，且＝，‎ 又S△ABC＝3S△ABM，所以＝.‎ 又因为S△ABD＝S△ABC，‎ 且＝＝，‎ 所以＝＝×，解得λ＝±3.‎