【数学】2020届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 作业 3页

‎1．(2018·广西三市联考)在以直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)求C1的直角坐标方程和C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，点D的直角坐标为(1，)，求△ABD的面积．‎ 解析　(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，根据互化公式，得C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，曲线C2的普通方程为＋y2＝1，根据互化公式，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，‎ 所以C2的极坐标方程是ρ＝.‎ ‎(2)联立得得点A的极坐标为A，‎ 联立得得点B的极坐标为B，所以|AB|＝－，‎ 又点D的极坐标为D，所以S△ABD＝S△OAD－S△OBD＝|OA||OD|sin －|OB||OD|sin ＝|OD||AB|sin ＝×2×＝－.‎ ‎2．(2018·广元一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解析　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，‎ ‎∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，‎ 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－12＝0.‎ ‎(2)设A，B两点的极坐标方程分别为，，‎ 由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，‎ 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，‎ ‎∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，‎ ‎∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.‎ ‎3．(2018·哈尔滨三模)在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 解析　(1)由题意可知，曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，直线l的普通方程为x－y－2＝0.‎ ‎(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程y2＝2ax，‎ 整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.(*)‎ Δ＝8a(4＋a)>0.‎ 设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的两个根．‎ 则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|.‎ 由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列得(t1－t2)2＝|t1t2|，‎ 即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.‎ 由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)>0，‎ 则(4＋a)2－5(4＋a)＝0，解得a＝1，或a＝－4.‎ ‎∵a>0，∴a＝1.‎ ‎4．(2018·承德模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.‎ ‎(1)求出曲线C1的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝4，点Q为曲线C1的动点，求点Q到直线C2的距离的最小值．‎ 解析　(1)将l1，l2的参数方程化为普通方程：‎ l1：y＝k(x＋)，①‎ l2：y＝(－x)，②‎ ‎①×②消k可得：＋y2＝1.‎ 因为k≠0，所以y≠0，‎ 所以C1的普通方程为＋y2＝1(y≠0)．‎ ‎(2)直线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ 由(1)知曲线C1与直线C2无公共点，‎ 由于C1的参数方程为(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，所以曲线C1上的点Q(cos α，sin α)到直线x＋y－8＝0的距离为 d＝＝，‎ 所以当sin＝1时，d的最小值为3.‎