【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章　解析几何（文）作业 8页

对应学生用书[考案8文]‎ 第八章　综合过关规范限时检测(文)‎ ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　A　)‎ A．相交　　 B．相切　　‎ C．相离　　 D．不确定 ‎[解析]　因为直线y＝kx－k＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　B　)‎ A．(－1,0)　　 B．(1,0)　　‎ C．(0，－1)　　 D．(0,1)‎ ‎[解析]　因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，所以＝1，所以该抛物线焦点坐标为(1,0)．‎ ‎3．(2019·秦皇岛模拟)已知直线l经过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为(　C　)‎ A．x＋2y＋5＝0　　 B．2x＋y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0　　 D．x－2y＋3＝0‎ ‎[解析]　圆心C(1,2)，故kOC＝2，|OC|＝，所以l⊥OC，kl＝－，直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，选C．‎ ‎4．(2019·宁夏模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(－1,2)，则C的离心率为(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　∵点(－1,2)在直线y＝－x上，∴2＝，∴b＝2a，∴4a2＝c2－a2，得5a2＝c2，得e＝.选A．‎ ‎5．过双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左焦点(－，0)作圆(x－)2＋y2＝4的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于(　B　)‎ A．2　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　记切点为M，左焦点为F1，右焦点为F2，则F2(，0)为题中的圆的圆心，连接MF2，则MF2⊥MF1，|MF2|＝2，所以|MF1|＝＝4，因此双曲线E的离心率等于＝＝＝，选B．‎ ‎6．若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－4y＋t＝0外切，则t＝(　D　)‎ A．－10　　 B．－12　　‎ C．10　　 D．12‎ ‎[解析]　圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝2，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋t＝0的圆心为C2(2,2)，半径为r2＝，所以|C1C2|＝4，r1＋r2＝2＋，因为两圆外切，所以4＝2＋，t＝12，选D．‎ ‎7．已知圆O：x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为(　B　)‎ A．＋＝1　　 B．＋＝1‎ C．＋＝1　　 D．＋＝1‎ ‎[解析]　易知圆O：x2＋y2＝4的半径为2，因为圆O：x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点，所以b＝c＝2，所以a2＝b2＋c2＝8，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B．‎ ‎8．(2019·郑州模拟)已知抛物线y2＝8x与双曲线－y2＝1(a>0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为(　A　)‎ A．5x±3y＝0　　 B．3x±5y＝0‎ C．4x±5y＝0　　 D．5x±4y＝0‎ ‎[解析]　依题意，抛物线的焦点F(2,0)，设M(x0，y0)，因为|MF|＝5，所以x0＋2＝5，x0＝3，所以M(3，±2)，代入－y2＝1中，得－24＝1，所以a2＝，令－y2＝0，得到双曲线的渐近线方程为y＝±，即5x±3y＝0，选A．‎ ‎9．(2019·西安模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－)．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故选A．‎ ‎10．(2019·陕西质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．2　　 D． ‎[解析]　设O为坐标原点，连接OM，则OM⊥PF，又M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则不妨令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径得＝a，所以e＝＝.‎ ‎11．(2019·辽宁省模拟)已知M(4,2)是直线l被椭圆x2＋4y2＝36所截得的弦AB的中点，则直线l的方程为(　A　)‎ A．x＋2y－8＝0　　 B．2x－y－6＝0‎ C．2x＋y－10＝0　　 D．x－2y＝0‎ ‎[解析]　设斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x－4)，即kx－y＋2－4k＝0，代入椭圆的方程化简得(1＋4k2)x2＋(16k－32k2)x＋64k2－64k－20＝0，所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－，所以直线l的方程为x＋2y－8＝0，故选A．‎ ‎12．(2019·北京石景山一模)已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且·＝0，则||的最小值为(　A　)‎ A．　　 B．3　　‎ C．　　 D．1‎ ‎[解析]　由椭圆的方程知其右焦点F为(3,0)，因为||＝1，所以点M的轨迹是以F为圆心，1为半径的圆．由于·＝0，所以MP⊥MF.在Rt△PMF中，||＝＝，由于点P(x，y)在椭圆上，所以a－c≤|PF|≤a＋c，即|PF|∈[2,8]，所以||∈[，3]．由此可知||的最小值为.故选A．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的标准方程为__(x－2)2＋y2＝4___.‎ ‎[解析]　设圆心坐标为(a,0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2‎ ‎＝4，圆心与切点连线必垂直于切线，根据点到直线的距离公式，得d＝R，即＝2，解得a＝2或a＝－(因圆心在x轴的正半轴，a＝－不符合，舍去)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎14．(2019·四川成都模拟)抛物线y2＝ax(a>0)上的点P(，y0)到焦点F的距离为2，则a＝__2___.‎ ‎[解析]　∵抛物线y2＝ax(a>0)上点P(，y0)到焦点F的距离为2，∴该点到准线的距离为2，∵抛物线的准线方程为x＝－，∴＋＝2，解得a＝2.‎ ‎15．(2019·温州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PF⊥x轴，若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则实数p的值为__2___.‎ ‎[解析]　由题可知，△APF为直角三角形，设直线AP与以AF为直径的圆的另一个交点为B，则BF⊥AB，因为AF＝PF＝p，所以BF＝，易知AF2＝AB×AP，所以AP＝，又AP×BF＝AF×PF，即×＝p2，解得p＝2.‎ ‎16．(2019·云南昆明)已知双曲线C的中心为坐标原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足为M，直线l交y轴于点E.若|FM|＝3|ME|，则双曲线C的方程为__x2－＝1___.‎ ‎[解析]　由题意设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由点到直线的距离公式得|FM|＝b，由|FM|＝3|ME|及勾股定理可得|OE|＝.又∵FE与渐近线垂直，∴＝.结合a2＝4－b2，得b2＝3，a2＝1，∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，每题15分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分15分)(2019·绍兴检测一)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．‎ ‎∵F(，0)，∴|CF|＝＝，解得p＝6.‎ ‎∴抛物线E的方程为y2＝12x.‎ ‎(2)设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立，得得y2－12my－12t＝0，‎ Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，‎ ‎∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，‎ 由OA⊥OB，得·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，‎ 即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0.‎ 整理可得t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．‎ ‎∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．‎ ‎∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，‎ 此时kCP＝＝－，得m＝，‎ 此时直线l的方程为x＝y＋12，即13x－y－156＝0.‎ ‎18．(本题满分15分)(2019·福州模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B.求证：直线AB与x轴交于定点P，并求·的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得c＝1，a＝2，b＝.‎ 所以椭圆M的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，‎ 直线AB：y＝kx＋m.‎ 将y＝kx＋m代入＋＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即＝，‎ 整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，‎ 所以2k－(m－k)－2m＝0，‎ 解得m＝－4k.‎ 所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．‎ 因为y＝3－x，所以·＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝(x1－)2－.‎ 因为－20)上的四点，A，C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l：x－y－1＝0是抛物线在C点处的切线，BD∥l.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)求证：AC平分∠BAD.‎ ‎[解析]　(1)联立消元得x2－2px＋2p＝0.‎ ‎∵直线l与抛物线相切，∴Δ＝4p2－8p＝0，‎ ‎∴p＝2.∴抛物线方程为x2＝4y.‎ ‎(2)证明：设点B(xB，yB)，D(xD，yD)，‎ 由(1)可得C(2,1)，A(－2,1)．‎ ‎∵直线l∥BD，∴设BD的方程为y＝x＋t.‎ 由得x2－4x－4t＝0，∴xB＋xD＝4.‎ ‎∴kAD＋kAB＝＋＝＝0.‎ ‎∵A，C关于抛物线的对称轴对称，‎ ‎∴AC⊥y轴，∴AC∥x轴．‎ 又∵kAD＋kAB＝0，∴AC平分∠BAD.‎ ‎20．(本题满分15分)(2019·青岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2(2,0)，点B(2，－)在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)依题意，得c＝2.∵点B(2，－)在C上，‎ ‎∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，‎ ‎∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在这样的点P，设P(x0,0)，E(x1，y1)，x1>0，‎ 则F(－x1，－y1)， 消去y并化简得，(1＋2k2)·x2－8＝0，解得x1＝，‎ 则y1＝，又A(－2，0)，‎ ‎∴AE所在直线的方程为y＝·(x＋2)，‎ ‎∴M(0，)，‎ 同理可得N(0，)．‎ ＝(－x0，)，＝(－x0，)．‎ 若∠MPN为直角，则·＝0，∴x－4＝0，‎ ‎∴x0＝2或x0＝－2，∴存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角，此时点P的坐标为(2,0)或(－2,0)．‎ ‎21．(本题满分15分)(2019·成都模拟)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．‎ ‎[解析]　(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．‎ 由c＝2，a＝2，得b＝2.‎ 故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，‎ 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.‎ Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则k>0或k<－.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.‎ 当直线l的斜率不存在时，得A(－1，)，B(－1，－)，‎ 所以k1＋k2＝4.‎ 综上，恒有k1＋k2＝4.‎ ‎22．(本题满分15分)(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，且椭圆C过点(－1，－)，过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于E，F两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点E作x轴的垂线，交椭圆C于点N，求证：N，F2，F三点共线．‎ ‎[解析]　(1)依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故a＝2.‎ 将 (－1，－)代入＋＝1中，解得b2＝3，‎ 故椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)证明：由题意知直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k(x－4)．点E(x1，y1)，F(x2，y2)，N(x1，－y1)，‎ 联立，得3x2＋4k2(x－4)2＝12，‎ 即(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，‎ 则Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由题可得直线FN方程为y＋y1＝(x－x1)．‎ 又∵y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，‎ ‎∴直线FN方程为y＋k(x1－4)＝(x－x1)，‎ 令y＝0，整理得 x＝＋x1＝＝＝＝1，‎ 即直线FN过点(1,0)．‎ 又∵椭圆C的右焦点坐标为F2(1,0)，∴N，F2，F三点共线．‎