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- 2021-07-01 发布
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南京十三中、中华中学2020届高三年级第二学期联合调研
数学试题
第一卷 必做题(160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知集合,则________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义,即得解.
【详解】集合
根据交集定义,
【点睛】本题考查了集合交集的运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.
2.已知复数,则复数的虚部为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算,化简得,进而求得复数的虚部,得到答案.
【详解】由题意,复数,所以复数的虚部为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的概念的应用,其中解答中熟记复数的概念,熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人,为了解不同年级学生的视力情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本,则高三年级应抽取的学生人数为____.
【答案】9
- 23 -
【解析】
【分析】
先求出抽样比,由此可求出高三年级应抽取的学生人数.
【详解】解:由题意可得:抽样比,
故高三年级应抽取的学生人数为:,
故答案为:9.
【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识,求出抽样比是解题的关键.
4.如图是一个算法的程序框图,当输入的值x为8时,则其输出的结果是__________.
【答案】2
【解析】
试题分析:x=8>0,不满足条件x≤0,则执行循环体,依此类推,当x=-1<0,满足条件,退出循环体,从而求出最后的y值即可.解:x=8>0,执行循环体,x=x-3=5-3=2>0,继续执行循环体, x=x-3=2-3=-1<0,满足条件,退出循环体,故输出y=0.5-1=()-1=2.故答案为2
考点:当型循环结构
点评:本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.
- 23 -
5.函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案.
【详解】由,得且.
函数的定义域为:;
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的会考题型.
6.小明随机播放A,B,C,D,E 五首歌曲中的两首,则A,B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______.
【答案】
【解析】
分析:先求出基本事件总数,A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放,由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率.
详解:小明随机播放A,B,C,D,E 五首歌曲中的两首,基本事件总数,A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为:,故A,B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-,故答案为
点睛:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
7.已知双曲线的右焦点与抛物线
- 23 -
的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标,根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标,结合双曲线标准方程中之间的关系求出的值,最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为,所以双曲线的右焦点也是,即,而,所以该双曲线的渐近线方程为.
故答案为:
【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,考查了抛物线的焦点,考查了数学运算能力.
8.设是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式和的解,然后将不等式
转化为或进行求解.
【详解】
- 23 -
是奇函数,且在内是增函数,
在内是增函数,
,
则当或时,,
当或时,,
则不等式等价为:,①或,②
由①得,解得,
由②得得,解得,
综上,或,故答案为或.
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用,属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是,一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.
9.若数列为等差数列,且,则的值等于 ________..
【答案】
【解析】
【详解】因为,
所以,故答案24.
10.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为__________.
- 23 -
【答案】
【解析】
由题意正方形中,为的中点,
可知:.
则的值为:.
故答案为
11.已知圆:, 圆:. 若圆上存在点,过点作圆的两条切线. 切点为,使得,则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得问题转化为圆和圆有公共点,从而根据几何法即可求出答案.
【详解】解:已知有,即点的轨迹方程为圆:,
问题转化为圆和圆有公共点,
则,故,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系,属于基础题.
12.已知,,,则的最小值为______.
- 23 -
【答案】
【解析】
【分析】
设,,由条件可得,而代换后用均值不等式求最小值.
【详解】解:令,,则已知得,,且.
,
当且仅当,时等号成立,此时.
故答案为:
【点睛】本题考查利用均值不等式求最小值,利用换元法化简变形是本题的难点,属于难题.
13.已知在锐角中,角的对边分别为,若,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先用正弦定理边化角,得,再结合诱导公式和内角和代换,进而求得最值
【详解】由正弦定理可转化为,两边同时除以可得,,
即
则,
当且仅当时取到等号;
- 23 -
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,正弦定理、诱导公式的使用,基本不等式求最值,综合性强,属于中档题
14.已知函数,(其中e为自然对数的底数),若关于x的方程恰有5个相异的实根,则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出图象,求出方程的根,分类讨论的正负,数形结合即可.
【详解】当时,令,解得,
所以当时,,则单调递增,当时,,则单调递减,
当时,单调递减,且,
作出函数的图象如图:
(1)当时,方程整理得,只有2个根,不满足条件;
(2)若,则当时,方程整理得,
则,,此时各有1解,
- 23 -
故当时,方程整理得,
有1解同时有2解,即需,,因为(2),故此时满足题意;
或有2解同时有1解,则需,由(1)可知不成立;
或有3解同时有0解,根据图象不存在此种情况,
或有0解同时有3解,则,解得,
故,
(3)若,显然当时,和均无解,
当时,和无解,不符合题意.
综上:的范围是,
故答案为:,
【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系,考查利用导数研究函数的单调性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB=bsin2A.
(1)求角A;
(2)若a=5,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【答案】(1);(2)12.
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得:sinAsinB=2sinBsinAcosA,可得的值,可得角A的大小;
(2)由△ABC的面积为及角A的值,可得的值,由余弦定理可得的值,可得△ABC的周长.
- 23 -
【详解】解:(1)由asinB=bsin2A及正弦定理,得sinAsinB=2sinBsinAcosA,
因为sinA>0,sinB>0,所以,
又,所以.
(2)由△ABC的面积为,得,
又,所以.
在△ABC中,由余弦定理,得,
因为a=5,所以,
所以,
所以,即△ABC的周长为12.
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,注意灵活运用定理解题.
16.如图,在直三棱柱中,,点M为棱的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)证明,利用线面平行判定定理,即可证得结论;
(2)证明,再利用面面垂直的判定定理,即可证得结论.
【详解】(1)∵,
- 23 -
∴四边形是平行四边形,
∴,
又,,
∴.
(2)由(1)证明同理可知,,
∵,
∴,
∵M是的中点,
∴,
∵,,
∴,又,
∴,又,
∴.
【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直的判定定理的应用,考查转化与化归思想,考查空间想象能力,属于基础题.
17.某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD,∠ABC=90°,AB∥CD,AB=800m,BC=1600m,CD=4000m,在点P处有一灯塔(如图),且点P到BC,CD的距离都是1200m,现拟将养殖区ACD分成两块,经过灯塔P增加一道分隔网EF,在△AEF内试验养殖一种新的水产品,当△AEF的面积最小时,对原有水产品养殖的影响最小.设AE=d.
(1)若P是EF的中点,求d的值;
(2)求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值,并求△AEF面积的最小值.
- 23 -
【答案】(1)480; (2)对原有水产品养殖的影响最小时,d=480.△AEF面积的最小值为192000 m2
【解析】
【分析】
(1)建立平面坐标系,求出直线AD,AC的方程,根据P为EF的中点列方程得出E点坐标,从而可计算d;
(2)根据基本不等式得出AE•AF的最小值,进而求出△AEF的面积最小值.
【详解】解:(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(800,1600),B(800,0),P(-400,400),D(-3200,1600).
AC所在直线方程为y=2x,AD所在直线方程为y=-x.
设E(-2m,m),F(n,2n),m>0,>0.
∵P是EF的中点,∴,解得,
∴E(-960,480),
∴d=|AE|==480.
(2)∵EF经过点P,∴kPE=kPF,
即=,化简得80m+240n=mn.
由基本不等式得:mn=80m+240n≥160,
即mn≥76800,当且仅当m=3n=480时等号成立.
∵kAC•kAD=-1,∴AC⊥AD,
∴S△AEF=AE•AF=m•n=mn≥76800=192000,
- 23 -
此时E(-960,480),d=AE=480.
故对原有水产品养殖的影响最小时,d=480.△AEF面积的最小值为192000 m2.
【点睛】本题考查了直线方程的应用,基本不等式的应用,属于中档题.
18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段的中点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知,四边形内接于椭圆,.记直线,的斜率分别为,,求证:为定值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由,由M为线段的中点得,再根据向量的数量积坐标运算得,结合,可求得离心率;
(2)根据,故可设的方程为,设,直线,的斜率分别用坐标和表示,再进行计算,即可得答案.
【详解】(1),由M为线段的中点得.
所以.
- 23 -
因为,所以,
整理得,即.
因为,所以,即.
所以椭圆离心率.
(2)由得,故椭圆方程为.
从而,直线的斜率为.
因为,故可设的方程为,设.
联立,消去y,得,
所以,从而.
直线的斜率,直线的斜率,
所以
,
即为定值.
【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆中的定值问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
- 23 -
19.已知函数,.
(1)若曲线在处的切线恰与曲线相切,求a的值;
(2)不等式对一切正实数x恒成立,求a的取值范围;
(3)已知,若函数在上有且只有一个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)或或.
【解析】
【分析】
(1)求出切线方程后,再与二次函数联立,利用判别式为0,即可求得的值;
(2)将问题转化为对任意的恒成立,再利用参变分离和构造函数,即可得答案;
(3)由题意得,,对分和两种情况讨论,从而求得的取值范围.
【详解】(1)因为,所以,又切点为,
因此曲线在处的切线为,
将与联立,消去y得:,
由题意知,
解得.
(2)因为,所以,
即,
设,
则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
- 23 -
因此,
所以,即.
(3),,
①当时,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以,
当,即时,
因为,
又,
所以在上存在唯一的零点,
因此在上无零点,所以即,解得
又,所以
当,即时,有唯一的零点.
当,即时,恒成立,所以无零点.
②当时,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
因为,所以当,无零点.
设,则,于是,
又,
所以在上存在唯一的零点,即在上有且只有一个零点,
- 23 -
综上可知,或或.
【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、函数的零点,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
20.已知数列的各项均为正数,记数列的前n项和为,数列的前n项和为,且.
(1)求值;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,且成等比数列,求k和t的值.
【答案】(1)1(2).(3).
【解析】
【分析】
(1)令代入递推关系,即可求得的值;
(2)连续两次利用“临差法”,即多递推一项再相减,从而构造出这一递推关系,再利用等比数列通项公式,即可得答案;
(3)由(2)可知,由成等比数列,可得,即,再根据等式两边奇、偶数的特点,推理得到k和t的值.
【详解】(1)由,得,即.
因为,所以.
(2)因为,①
所以,②
②-①,得.
因为,
所以,③
- 23 -
所以,④
④-③,得,即,
所以当时,.
又由,得,
即.
因为,所以,所以,所以对,都有成立,
所以数列的通项公式为.
(3)由(2)可知.
因为成等比数列,
所以,即,
所以,即.
由于,所以,即.
当时,,得.
当时,由,得为奇数,
所以,即,代入(*)得,即,此时k无正整数解.
综上,.
【点睛】本题考查数列递推关系的应用、等比数列中项性质、数列中的推理问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
第二卷 附加题(40分)
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
[选修4-2:矩阵与变换]
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21.已知矩阵的一个特征值λ=2,其对应的一个特征向量是.求矩阵M的另一个特征值以及它的逆矩阵.
【答案】,.
【解析】
【分析】
将特征值于特征向量代入,可得关于方程,可得的值,求出矩阵,可求出其另一个特征值,可得其逆矩阵.
【详解】解:由题意,λ=2是矩阵M的一个特征值,所以,
所以,
所以,
由方程.
所以或,
所以M的另一个特征值-2.
又因为,
所以矩阵M的逆矩阵为.
【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识,属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是解题的关键.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.
【答案】
【解析】
【分析】
- 23 -
将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程,从而求得对称曲线的直角坐标方程,再转化成极坐标方程.
【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,
则曲线的直角坐标方程为,且圆心C为.
直线的直角坐标方程为,
因为圆心C关于的对称点为,
所以圆心C关于的对称曲线为.
所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为.
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.某班图书角有文学名著类图书5本,学科辅导书类图书3本,其它类图书2本,共10本不同的图书,该班从图书角的10本不同图书中随机挑选3本不同图书参加学校活动.
(1)求选出的三本图书来自于两个不同类别的概率;
(2)设随机变量X表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】(1)(2)见解析,
【解析】
【分析】
(1)选出的三本书共有种,再利用古典概型概率求解;
(2)由题意得的所有可能取值为,再通过概率计算可得:,,,,从而写出分布列和计算期望值.
【详解】(1)选出的三本书共有种,
记选出的三本书来自于两个不同类别为事件
- 23 -
则.
(2)由题意得的所有可能取值为
,,,,
X的分布列如下:
X
0
1
2
3
P
∴.
【点睛】本题考查计数原理和离散型随机变量分布列和期望,考查逻辑推理能力、数据处理能力.
24.已知为给定的正整数,设,.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1),.(2)
【解析】
【分析】
(1)利用二项式定理可求出和的值;
(2)利用组合数公式得出,可得出,然后利用二项式定理即可求得答案.
【详解】(1)因为,所以,;
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(2)当时,,
又因为,
当时,;
当时,
,当时,也符合.
所以的值为.
【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数,同时也考查了利用二项式定理化简求值,解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用,考查计算能力,属于中等题.
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