【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第八章第一讲　空间几何体的结构、三视图、表面积和体积作业 13页

第八章　立体几何 第一讲　空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 1.[2020 江西红色七校第一次联考]一个四棱锥的三视图如图 8-1-1 所示,其正视图和侧视图均 为全等的等腰直角三角形,俯视图是边长为 2的正方形,则该几何体的表面积为 (　　) 图 8-1-1 A.2 3 B.4 C.2+2 3 D.6 2.[2020 惠州市二调]某几何体的三视图如图 8-1-2 所示,其中正视图、侧视图均是由三角形与 半圆形构成的,俯视图由圆与内接三角形构成,则该几何体的体积为 (　　) 图 8-1-2 A. 2π 3 + 1 6 B. 2π 6 + 1 2 C. 2π 6 + 1 6 D. 2π 3 + 1 2 3.[2020 哈尔滨模拟]如图 8-1-3,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA1 =8.若侧面 AA1B1B 水平放置时,液面恰好过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点,当底面 ABC 水平放置时,液面高为 (　　) 图 8-1-3 A.7 B.6 C.4 D.2 4.[2020 山东省统考]已知三棱锥 S-ABC 中,∠SAB =∠ABC =π 2,SB =4,SC =2 13,AB =2,BC =6,则三棱 锥 S-ABC 的体积是 (　　) A.4 B.6 C.4 3 D.6 3 5.[2020 大同市高三调研]《九章算术》中,将如图 8-1-4 所示的几何体称为刍甍,底面 ABCD 为 矩形,EF ∥底面 ABCD,EF 到底面 ABCD 的距离为 h,BC =a,AB =b,EF =c,则푉퐵 - 퐶퐷퐸퐹 푉퐸 - 퐴퐵퐷 =2 时, 푏 푐 =(　　) 图 8-1-4 A.1 2 B.3 2 C.2 3 D.1 6.[2020 武汉市部分学校质量监测]已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上,PA =PB =PC =2,且 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球 O 的体积为 (　　) A.16 3π B.8 3π C.4 3π D.2 3π 7.[2020 成都市高三摸底测试]若矩形 ABCD 的对角线交点为 O',周长为 4 10,四个顶点都在球 O 的表面上,且 OO' = 3,则球 O 的表面积的最小值为 (　　) A.32 2π 3 B.64 2π 3 C.32π D.48π 8.[2020 安徽省示范高中名校联考]在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 是线段 AC1 上的点,且 AE =EF =F C1,分别过点 E,F 作与直线 AC1 垂直的平面 α,β,则正方体夹在平面 α 与 β 之间的部分 的体积占整个正方体体积的 (　　) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 9.[2019 安徽省江南十校二模]已知圆台上、下两底面与侧面都与球 O 相切,已知圆台的侧面 面积为 16π,则该圆台上、下两底面圆的周长之和为 (　　) A.4πB.6π C.8π D.10π 10.[2019 南昌市三模]如图 8-1-5,在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,AA1 =AB =2,BC =3,点 P 在线段 B1D1 上,퐵퐴的方向为正(主)视方向, 图 8-1-5 当 AP 最短时,棱锥 P-AA1B1B 的侧(左)视图为 (　　) 11.[2019 福州市质检]如图 8 - 1 - 6,以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心,以 2为半径作一个 球面, 图 8-1-6 则该正方体的表面被球面所截得的所有弧的长之和为 (　　) A.3π 4 B. 2π C.3π 2 D.9π 4 12.[2019 绵阳市三诊]已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容 器的三个相邻侧面的面积分别为 6,8,12,则铁球的直径最大只能为 (　　) A. 3 B.2 C. 5D.4 13.[2020 南昌市测试]已知一个圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,则该圆锥的侧 面面积为　　　　. 14.[2019 广东广州模拟]如图 8-1-7 所示,在三棱锥 A-PBC 中,AP,AB,AC 两两垂直,AP =AB =AC = 2.若点 D,E 分别在棱 PB,PC 上运动(都不与端点重合),则 AD+DE+EA 的最小值为　　　　. 图 8-1-7 15.[2020 安徽省示范高中名校联考]如图 8-1-8,已知四面体 ABCD 为正四面体,AB =1,E,F 分别 是 AD,BC 的中点. 图 8-1-8 若用一个与直线 EF 垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面 α 去截该四面体,由此得到一 个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为 (　　) A.1 4 B. 2 4 C. 3 4 D.1 16.[2020 陕西省百校第一次联考]四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥底 面 ABCD,异面直线 AC 与 PD 所成的角的余弦值为 10 5 ,则四棱锥的外接球的表面积为 (　　) A.48π B.12π C.36π D.9π 17.[2020 洛阳市第一次联考]已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上,底面△ABC 满 足 BA =BC = 6,∠ABC =π 2,若该三棱锥体积的最大值为 3,则其外接球的体积为 (　　) A.8πB.16π C. 16 3 π D.32 3 π 18.[2019 合肥市三检]若圆锥 SO1,SO2 的顶点和底面圆周都在半径为 4 的同一个球的球面上, 两个圆锥的母线长分别为 4,4 2,则这两个圆锥重合部分的体积为 (　　) A.8 3π B.8π C.56 3 π D.56 + 16 3 3 π 19.[2020 惠州市二调][双空题]已知底面边长为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点均在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切,则球 O1 与球 O2 的半径之比为　　　　　,表面 积之比为　　　　　. 20.[2020 南昌市测试]已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,垂直于棱 AA1 的截面分别与面对 角线 A1D,A1B,C1B,C1D 相交于点 E,F ,G,H,则四棱锥 A1-EF GH 的体积的最大值为　　　　. 21.[2019 济南市质检]已知等边△ABC 的边长为 4 3,M,N 分别为 AB,AC 的中点,将△AMN 沿 MN 折起,连接 AB,AC,得到四棱锥 A-MNCB.点 P 为四棱锥 A-MNCB 的外接球球面上任意一点,当四 棱锥 A-MNCB 的体积最大时,点 P 到平面 MNCB 的距离的最大值为　　　　. 22.[新定义题]过圆锥的轴作截面,如果截面三角形为正三角形,则称圆锥为等边圆锥.已知一 等边圆锥中,过顶点 P 的截面与底面交于 CD,O 为底面圆的圆心,若∠COD =90°,且 S△PCD = 7 2 ,那 么这个等边圆锥的体积为 (　　) A.2 3 3 π B. 3 3 π C.2π D. 3π 23.[2020 四川五校联考]在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 C1D1,B1C1 的 中点,过 A,E,F 三点作该正方体的截面,则截面的周长为　　　　. 24.[双空题]在棱长为 8 的正方体空盒内,有四个半径为 r 的小球在盒底四角,分别与正方体的 三个面(三个面交于一点)相切,另有一个半径为 R 的大球放在四个小球之上,与四个小球均相 切,并与正方体盒盖相切,无论怎样翻转盒子,五个球相切不松动,则小球的半径 r 的最大值 为　　　　,大球的半径 R 的最小值为　　　　. 25.[原创题]在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上 常常能看到堆积如山的石子.某雕刻师计划在底面边长为 2 m,高为 4 m 的正四棱柱形的石料 ABCD-A1B1C1D1 中雕出一个四棱锥 O-ABCD 和球 M 的组合体(如图 8-1-9 所示), 图 8-1-9 其 中 O 为 正 四 棱 柱 的 中 心 , 当 球 的 半 径 r 取 最 大 值 时 , 该 雕 刻 师 需 去 除 的 石 料 约 重　　　　 kg.(其中 π≈3.14,石料的密度 ρ =2.4 g/cm3,质量 m =ρV,V 为体积) 第一讲　空间几何体的结构、三视图、表面积和体积 1.C　由三视图知,该几何体的底面是边长为 2的正方形,侧面是边长为 2的等边三角形,所 以该几何体的表面积 S=( 2)2+4× 3 4 ×( 2)2=2+2 3,故选 C. 2.C　由三视图可知该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是一个半球,几何体的体积 V= 1 3 × 1 2×1×1×1+1 2 × 4π 3 ×( 2 2 )3= 2π 6 + 1 6,故选 C. 3.B　设底面 ABC 的面积为 S,侧面 AA1B1B 水平放置时,液面恰好过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点,则 水的体积为3 4S×8,设当底面 ABC 水平放置时,液面高为 h,则 Sh=3 4×8S,可得 h=6.故选 B. 4.C 　 由 SB=4,AB=2, 且 ∠SAB=π 2, 得 SA=2 3. 由 AB=2,BC=6,∠ABC=π 2, 得 AC=2 10. 因 为 SA2+AC2=SC2, 所 以 ∠SAC=π 2, 即 SA⊥AC, 又 ∠SAB=π 2, 则 SA⊥AB, 易 得 SA⊥ 平 面 ABC. 由 于 S△ABC=1 2 ×2×6=6,从而三棱锥 S - ABC 的体积 V=1 3S△ABC×SA=1 3×6×2 3=4 3.选 C. 5.D　VE - ABD=1 3S△ABD×h=1 3 × 1 2ab×h=1 6abh.同理 VF - BCD=1 6abh.因为 푉퐹 - 퐵퐶퐷 푉퐵 - 퐷퐸퐹 = 푉퐵 - 퐶퐷퐹 푉퐵 - 퐷퐸퐹 = 푆△퐶퐷퐹 푆△퐷퐸퐹 = 푏 푐,所以 VB - DEF=1 6ach,则 VB - CDEF=VB - CDF+VB - DEF= 1 6abh+1 6ach,所以푉퐵 - 퐶퐷퐸퐹 푉퐸 - 퐴퐵퐷 = 푏 + 푐 푏 =1+푐 푏=2,所以푐 푏=1,则푏 푐=1,故选 D. 6.C　因为 PA,PB,PC 两两互相垂直,PA=PB=PC=2,所以以 PA,PB,PC 为交于一点的三条棱构造正 方体,则球 O 即此正方体的外接球,该正方体的体对角线长为球的直径,即球的直径为 푃퐴2 + 푃퐵2 + 푃퐶2 = 22 + 22 + 22=2 3,又球的半径 R= 3,所以球 O 的体积 V=4 3πR3=4 3π( 3)3 =4 3π,故选 C. 7.C　解法一　由题意,知矩形 ABCD 所在的圆面为球 O 的一个截面.因为 O ' 为矩形 ABCD 的 对角线的交点,所以 OO ' 所在直线垂直于矩形 ABCD 所在的圆面.因为矩形 ABCD 的周长为 4 10,所以 BC+CD=2 10.设 BC=x,则 CD=2 10 - x,所以 BD2=BC2+CD2=x2+(2 10 - x)2,即 BD2=2(x - 10)2+20.设球 O 的半径为 R,则 R2=(퐵퐷 2 )2+O ' O2=1 2(x - 10)2+8,所以当 x= 10时,R2 取得最小值 8,又球 O 的表面积 S=4πR2,则 Smin=32π,故选 C. 解法二　由题意,知矩形 ABCD 所在的圆面为球 O 的一个截面.因为 O ' 为矩形 ABCD 的对角 线的交点,所以 OO ' 所在直线垂直于矩形 ABCD 所在的圆面.设球 O 的半径为 R,则 R=′ ,因此 要使球 O 的表面积取得最小值,只需 BD 取得最小值.由题意,知 AB+AD=2 10,两边平方,得 40=AB2+AD2+2AB·AD≤2(AB2+AD2), 即 AB2+AD2≥20, 当且仅当 AB=AD= 10时等号成立, 所以 BD2≥20,所以球 O 的半径 R 的最小值为 1 4 × 20 + 3=2 2,所以球 O 的表面积 S 的最小值 Smin=4π×(2 2)2=32π,故选 C. 8.C　连接 A1B,A1D,BD,B1D1,CD1,CB1,如图 D 8 - 1 - 7 所示,分析易知过点 E,F 且与直线 AC1 垂直 的平面分别为平面 A1BD,平面 CB1D1,则平面 α 为平面 A1BD,平面 β 为平面 CB1D1,设正方体的 棱长为1,则푉퐴 - 퐵퐷퐴1 = 푉퐶1 - 퐶퐵1퐷1 = 1 6,则正方体夹在这两个平面之间的部分的体积为1 - 2× 1 6 = 2 3, 占整个正方体体积的2 3,故选 C. 图 D 8 - 1 - 7 9.C　设圆台上、下两底面的半径分别为 r,R,分析易知母线长为 R+r,画出圆台的轴截面,如图 D 8 - 1 - 8 所示, 图 D 8 - 1 - 8则圆台的侧面面积 S 侧=π(R+r)2=16π,所以 R+r=4,所以该圆台上、下两底面圆的周长之和为 2(R+r)π=8π.故选 C. 10.B　在△AA1P 中,AP= 퐴퐴21 + 퐴1푃2,当 A1P⊥B1D1 时,AP 最短.当 A1P⊥B1D1 时,在△B1A1D1 中,易 得 B1D1= 13,A1P=6 13 13 ,B1P=4 13 13 ,PD1=9 13 13 ,因为 B1P0,当 x∈(2,3)时,y ' <0,故当 x=2 时,y 有最大值,ymax=1 3×(6×22 - 2×23)=8 3.所以四棱锥 A1 - EFGH 的体积的最大值为8 3. 图 D 8 - 1 - 17 21. 13+1　由题意知,当四棱锥 A - MNCB 体积最大时,平面 AMN⊥平面 MNCB.如图 D 8 - 1 - 18,在等腰梯形 MNCB 中,易知 BM=MN=NC=2 3,BC=4 3,∠MBC=∠NCB=π 3,连接 BN,CM,易得 △BNC 与△BMC 是直角三角形,所以梯形 MNCB 的外接圆圆心 O1 是边 BC 的中点.又△AMN 是 等边三角形,其外接圆圆心 O2 是等边三角形 AMN 的中心.连接 AO2 并延长,与 MN 交于一点, 分别过 O1,O2 作梯形 MNCB,△AMN 所在平面的垂线,则两垂线的交点 O 即是四棱锥 A - MNCB 外接球的球心,故四棱锥 A - MNCB 外接球的半径 R=OB= 퐵푂1 2 + 푂푂1 2 = (2 3)2 + 1 = 13, 所以点 P 到平面 MNCB 的距离的最大值为 R+OO1= 13+1. 图 D 8 - 1 - 18 22.B　如图 D 8 - 1 - 19,连接 PO,设圆锥的母线长为 2a,则圆锥的底面半径为 a,圆锥的高 PO= 3a.由已知得 CD= 2a,PC=PD=2a,则 S△PCD=1 2 × 2a× 14 2 a= 7 2 ,得 a=1,故圆锥的体积为1 3π×12× 3 ×1= 3 3 π,故选 B. 图 D 8 - 1 - 19 【素养落地】　试题以圆锥为载体,要求考生从对几何体的整体观察中去认识和理解几何体 中元素间的关系,建立形与数的联系,体现了对直观想象核心素养的考查. 23.6 13+3 2　如图 D 8 - 1 - 20,延长 EF,A 1B1,相交于点 M,连接 AM,交 BB 1 于点 H,延长 FE,A1D1,相交于点 N,连接 AN,交 DD1 于点 G,连接 FH,EG,可得截面为五边形 AHFEG.因为 ABCD - A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,且 E,F 分别是棱 C1D1,B1C1 的中点,易得 EF=3 2, AG=AH=2 13,EG=FH= 13,截面的周长为 AH+HF+EF+EG+AG=6 13+3 2. 图 D 8 - 1 - 20 24.2　5 2　易知当正方体盒底四角的四个小球中相邻小球均相切时,小球的半径 r 最大,大球的 半径 R 最小,故可得 r 的最大值为 2,下面分析 r=2 时 R 的取值.如图 D 8 - 1 - 21 所示, 图 D 8 - 1 - 21 由 对 称 性 知 , 大 球 球 心 O 与 四 个 小 球 球 心 O1,O2,O3,O4 均 为 一 个 正 四 棱 锥 的 顶 点 , 且 OO1=R+r=R+2,O1O2=4.连接 OH,O 1H,其中 H 是正四棱锥的底面的中心,易知正四棱锥 O - O1O2O3O4 的高 OH 的长为 8 - r - R=6 - R,故在 Rt△OHO 1 中,OH2+H푂21=O푂21,即(6 - R) 2+(2 2)2 =(R+2)2,解得 R=5 2.故小球的半径 r 的最大值为 2,大球的半径 R 的最小值为5 2. 【易错提醒】　解答本题容易出现的错误是不能根据题意确定五个球的球心的位置,从而不 能抽象出正四棱锥模型. 25.21 952　由题意得正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的体积 V1=22×4=16(m3),正四棱锥 O - ABCD 的 体积V 2=1 3×22×2=8 3(m3),分析知球M的半径r的最大值为1,此时球M的体积V 3=4 3πr3=4 3π×13=4π 3 (m3), 故去除石料的体积 V=V1 - V2 - V3=16 - 8 3 ― 4π 3 ≈27.44 3 (m3).又 ρ=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,故需去除的 石料的质量 m=ρV≈2 400×27.44 3 =21 952(kg).