高二数学教案第4讲：直线中的对称问题 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 教学内容 ‎1. 掌握点到直线的距离公式；‎ ‎2. 理解并掌握如何根据对称的条件得到有用的信息 ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1．点到直线距离公式：‎ 点到直线的距离为：‎ 证：如图，设直线的一个法向量，‎ Q直线上任意一点，则。‎ 从而点P到直线的距离为：‎ ‎2.两条平行线间距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，‎ 则与的距离为 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即，∴d＝ ‎ ‎3.两点与直线位置关系 点和，直线，令，‎ 令，，‎ 若，则点在直线同侧；‎ 若，则点在直线异侧。‎ ‎4. 对称问题 对称问题一般可分解为：中点问题、垂直问题、夹角问题 练习：‎ ‎1. 求点关于点对称的点的坐标 解：由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，‎ 解得，故C（4，6）‎ 点评：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 求直线3x－y－4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程 解：由直线 l与3x－y－4=0平行，故设直线l方程为3x－y＋b=0. ‎ ‎　　由点 P到两直线距离相等，得 ‎ ‎　　‎ ‎　　解得： b=－10或b=－4（舍）. ‎ ‎∴ 所求直线 l的方程3x－y－10=0.‎ 评述：求直线关于点的对称直线，可利用平行与点到两条平行线距离相等来做。‎ 试一试：求直线关于点对称的直线方程 答案：2x+11y-38=0.‎ 例2. 已知点，求的面积。‎ 解一：设AB边上的高为h，则=‎ ‎ ，‎ AB边上的高h就是点C到AB的距离。‎ AB边所在直线方程为 即 点C到的距离为h h=，‎ ‎ 因此，=‎ 解二：利用行列式 评述：解法一：利用点到直线间距离公式求出高，再求三角形面积。‎ ‎ 解法二：利用行列式代入点的坐标求面积。‎ 例3. 已知点P（2，－1），求：‎ ‎（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；‎ ‎（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?‎ ‎（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），‎ 可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时l的斜率不存在，其方程为x=2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.‎ 由已知，得=2，解之得k=.‎ 此时l的方程为3x－4y－10=0.综上，‎ 可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.‎ ‎（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，‎ 由l⊥OP，得kl·kOP =－1，‎ 所以kl =－=2，由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，‎ 即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.‎ ‎（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.‎ 评述：先根据平行将已知直线设出来，再利用两平行直线间距离公式求解。‎ 例4. 求直线关于直线对称的直线的方程.‎ ‎【分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答】‎ 解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，‎ 在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），‎ 则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），‎ 将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，‎ 故所求直线l的方程为x-y+3=0.‎ 试一试：试求直线关于直线对称的直线的方程.‎ ‎【分析：两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.】‎ 解 由解得l1，l2的交点，‎ 设所求直线l的斜率为k，‎ 由到角公式得，，所以k=-7.‎ 由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.‎ ‎【点评：本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程；或者在l2上任取不同于交点的一点，然后利用点到两直线距离相等求出相应系数】‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 点关于直线的对称点是( )‎ A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)‎ 答案：D ‎2. 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率的取值范围．‎ 解：设所求直线为，化成一般式 因为与线段有公共点，‎ 所以 评述：若直线与线段有交点，可通过画图确定斜率范围，也可以利用两点与直线的位置关系去求解。‎ ‎（1. 可针对学生不同的水平，选题时难易程度上要有区分；‎ ‎2. 可根据实际情况，通过竞赛的互动方式进行，并给予学生相应的鼓励与表扬）‎ ‎3. 过直线和直线的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线和之间的线段长为，求该直线的方程. ‎ 解：　由交点M（－5，2）． ‎ ‎　　设所求直线 l与l1、l2分别交于B、A两点， ‎ ‎　　由已知 |AB|=，又l1、l2间距离， ‎ ‎　　在 Rt△ABC中，．‎ ‎　　设l1到l的角为α，则. ‎ 设直线 l的斜率为k，由夹角公式得 ‎ ‎ 所求直线的方程为或.‎ 评述：根据平行线间距离及所夹线段长，求出所求直线与已知直线的夹角，利用夹角公式求出斜率，代入点的坐标即可。‎ 附加题：一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x＋4y＋8＝0及3x＋4y－7＝0都相交，两交点间线段长3，求这直线方程．‎ 分析 由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率．‎ ‎　 解 两平行线间的距离为＝3‎ ‎　设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为α，则｜AB｜＝3 ‎∴sinα＝＝ ∴α＝45°，tanα＝1，设所求直线的斜率为k，‎ 则tanα＝｜|＝1，解得k＝或k＝－7　‎ ‎∴所求直线的方程为x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0‎ 点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用 本节课主要知识点：点到直线的距离公式，平行线间的距离公式，对称问题的转化。‎ ‎1. 已知点，则两点的对称轴所在的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 线段的中点为垂直平分线的，‎ ‎2. 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是_______‎ 答案： 点与点关于对称，则点与点；‎ 也关于对称，则，得 ‎3. 已知直线与，求直线关于直线对称的直线的方程 答案：‎ 类比直线方程的定义，简单总结一下曲线方程应该如何定义呢？‎