2019届二轮复习直线中的对称问题学案（全国通用） 5页

题型一　点关于点中心对称 例1过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2： x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ．‎ ‎【答案】　x＋4y－4＝0‎ 变式：在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是 ．‎ ‎【解析】　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，‎ 将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，‎ 得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，‎ 将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，‎ 则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，‎ 即y＝kx＋3－4k＋b， ‎ ‎∴b＝3－4k＋b，解得k＝，‎ ‎∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，‎ 取直线l上的一点P，‎ 则点P关于点(2,3)的对称点为，‎ ‎∴6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.‎ ‎∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.‎ ‎【答案】　6x－8y＋1＝0‎ 点拨①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ 巩固1已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝ .‎ 题型二　点关于直线对称 例2：如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ ‎ ‎ A．3 B．6 C．2 D．2 ‎ ‎ ‎【答案】　C 变式1：从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 学 ]‎ ‎【解析】　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，‎ 所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，‎ 又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，‎ 所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ ‎【答案】　A 变式2：将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A 点拨：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，‎ 则有 巩固2一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4‎ 题型三　直线关于直线的对称问题 ‎ 例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ ‎【解析】　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设对称点M′(a，b)，则 ]‎ 解得∴M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．‎ 又∵m′经过点N(4,3)．‎ ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. ‎ 变式：若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 (　　)‎ A．(0,4) B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ ‎【答案】　B 点拨：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ 巩固3已知直线l：3x－y＋3＝0，求：‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点；‎ ‎(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；‎ ‎(3)直线l关于(1,2)的对称直线．‎ 答案与解析 巩固1【解析】由题意得 解得或经检验，两种情况均符合题意，‎ ‎∴a＋b的值为0或.‎ ‎【答案】　0或 巩固2【解析】点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，‎ 则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.‎ 故选B.‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，‎ 得关于l的对称直线方程为－－2＝0，‎ 化简得7x＋y＋22＝0. 学 / ‎ ‎(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，‎ ‎∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．‎ l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，‎ ‎∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，‎ 即3x－y－5＝0.‎